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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ich mich hier vorwiegend wieder an das geometrische Substrat unsrer
"bevorzugten" Mannigfaltigkeit.

Die fragliche Definition lässt sich in sehr verschiedenen Ausdrucks-
formen geben, deren eine von Peirce herrührt. Ich möchte eine
andere an die Spitze stellen, und werden wir die eine auch auf die
andre zurückzuführen haben.

Auf das charakteristische Merkmal des Individuums weist schon
der Name hin. Zunächst will er "etwas" bezeichnen, nicht "nichts".
Es wird also
i 0
zu gelten haben.

Sodann fordert der Name die Unteilbarkeit des Individuums: der
Punkt kann nicht gespalten werden; er kann nicht in zwei getrennte
(disjunkte) Gebiete zugleich hineinragen (wie dies andere Gebiete sehr
wohl können).

Ragt ein Gebiet a mit einem Teile in ein Gebiet x hinein, so
kommt dies in unsrer Formelsprache dadurch zum Ausdruck, dass
wir die Ungleichung a x 0 anzuerkennen haben. Ebenso wenn a in
y hineinragt, wird a y 0 zu gelten haben. Schliessen die Gebiete
x und y einander aus, so kann doch beides noch zugleich der Fall
sein. Soll aber a ein Individuum, einen Punkt i vorstellen, so kann
es nicht zugleich der Fall sein, d. h. wir haben:
a) (x y = 0) {(i x 0) (i y 0) = 0}
und zwar dieses für jedes Wertepaar x, y aus der Mannigfaltigkeit
unsrer Gebiete.

Hiernach gelangen wir zu der folgenden Definition des "Indivi-
duums" oder "Punktes" i:
(a) (i 0) [Formel 1] [(x y = 0) {(i x 0) (i y 0) = 0}] = i.

Es lässt sich indessen zeigen, dass es nicht nötig ist, die Defini-
tion in solcher Allgemeinheit zu fassen.

Statt des beliebigen Paares disjunkter Gebiete x, y genügt es,
ein Paar x, x1 zu nehmen, von denen blos das eine willkürlich anzu-
nehmen ist, das andre hernach als dessen Negation bestimmt erscheint.
Die beiden Gebiete x und x1 erfüllen die in der Definition zu machende
Voraussetzung, dass ihr Produkt verschwinde, immer, erfüllen sie schon
von selber, ohne dass man nötig hätte dies erst noch ausdrücklich
zu postuliren, indem nach Th. 30x) ja x1 x = 0 sein muss.

Wir werden so schon einfacher als Definition eines Individuums,
Punktes i hinstellen können:

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ich mich hier vorwiegend wieder an das geometrische Substrat unsrer
„bevorzugten“ Mannigfaltigkeit.

Die fragliche Definition lässt sich in sehr verschiedenen Ausdrucks-
formen geben, deren eine von Peirce herrührt. Ich möchte eine
andere an die Spitze stellen, und werden wir die eine auch auf die
andre zurückzuführen haben.

Auf das charakteristische Merkmal des Individuums weist schon
der Name hin. Zunächst will er „etwas“ bezeichnen, nicht „nichts“.
Es wird also
i ≠ 0
zu gelten haben.

Sodann fordert der Name die Unteilbarkeit des Individuums: der
Punkt kann nicht gespalten werden; er kann nicht in zwei getrennte
(disjunkte) Gebiete zugleich hineinragen (wie dies andere Gebiete sehr
wohl können).

Ragt ein Gebiet a mit einem Teile in ein Gebiet x hinein, so
kommt dies in unsrer Formelsprache dadurch zum Ausdruck, dass
wir die Ungleichung a x ≠ 0 anzuerkennen haben. Ebenso wenn a in
y hineinragt, wird a y ≠ 0 zu gelten haben. Schliessen die Gebiete
x und y einander aus, so kann doch beides noch zugleich der Fall
sein. Soll aber a ein Individuum, einen Punkt i vorstellen, so kann
es nicht zugleich der Fall sein, d. h. wir haben:
α) (x y = 0) ⊆ {(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0}
und zwar dieses für jedes Wertepaar x, y aus der Mannigfaltigkeit
unsrer Gebiete.

Hiernach gelangen wir zu der folgenden Definition des „Indivi-
duums“ oder „Punktes“ i:
(α) (i ≠ 0) [Formel 1] [(x y = 0) ⊆ {(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0}] = i.

Es lässt sich indessen zeigen, dass es nicht nötig ist, die Defini-
tion in solcher Allgemeinheit zu fassen.

Statt des beliebigen Paares disjunkter Gebiete x, y genügt es,
ein Paar x, x1 zu nehmen, von denen blos das eine willkürlich anzu-
nehmen ist, das andre hernach als dessen Negation bestimmt erscheint.
Die beiden Gebiete x und x1 erfüllen die in der Definition zu machende
Voraussetzung, dass ihr Produkt verschwinde, immer, erfüllen sie schon
von selber, ohne dass man nötig hätte dies erst noch ausdrücklich
zu postuliren, indem nach Th. 30×) ja x1 x = 0 sein muss.

Wir werden so schon einfacher als Definition eines Individuums,
Punktes i hinstellen können:

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[320/0344] Zweiundzwanzigste Vorlesung. ich mich hier vorwiegend wieder an das geometrische Substrat unsrer „bevorzugten“ Mannigfaltigkeit. Die fragliche Definition lässt sich in sehr verschiedenen Ausdrucks- formen geben, deren eine von Peirce herrührt. Ich möchte eine andere an die Spitze stellen, und werden wir die eine auch auf die andre zurückzuführen haben. Auf das charakteristische Merkmal des Individuums weist schon der Name hin. Zunächst will er „etwas“ bezeichnen, nicht „nichts“. Es wird also i ≠ 0 zu gelten haben. Sodann fordert der Name die Unteilbarkeit des Individuums: der Punkt kann nicht gespalten werden; er kann nicht in zwei getrennte (disjunkte) Gebiete zugleich hineinragen (wie dies andere Gebiete sehr wohl können). Ragt ein Gebiet a mit einem Teile in ein Gebiet x hinein, so kommt dies in unsrer Formelsprache dadurch zum Ausdruck, dass wir die Ungleichung a x ≠ 0 anzuerkennen haben. Ebenso wenn a in y hineinragt, wird a y ≠ 0 zu gelten haben. Schliessen die Gebiete x und y einander aus, so kann doch beides noch zugleich der Fall sein. Soll aber a ein Individuum, einen Punkt i vorstellen, so kann es nicht zugleich der Fall sein, d. h. wir haben: α) (x y = 0)  {(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0} und zwar dieses für jedes Wertepaar x, y aus der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete. Hiernach gelangen wir zu der folgenden Definition des „Indivi- duums“ oder „Punktes“ i: (α) (i ≠ 0) [FORMEL] [(x y = 0)  {(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0}] = i. Es lässt sich indessen zeigen, dass es nicht nötig ist, die Defini- tion in solcher Allgemeinheit zu fassen. Statt des beliebigen Paares disjunkter Gebiete x, y genügt es, ein Paar x, x1 zu nehmen, von denen blos das eine willkürlich anzu- nehmen ist, das andre hernach als dessen Negation bestimmt erscheint. Die beiden Gebiete x und x1 erfüllen die in der Definition zu machende Voraussetzung, dass ihr Produkt verschwinde, immer, erfüllen sie schon von selber, ohne dass man nötig hätte dies erst noch ausdrücklich zu postuliren, indem nach Th. 30×) ja x1 x = 0 sein muss. Wir werden so schon einfacher als Definition eines Individuums, Punktes i hinstellen können:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 320. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/344>, abgerufen am 11.05.2024.