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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Studien.

Zieht man aber gar noch andere Beziehungszeichen mit heran,
so wächst die Menge der Sätze unabsehbar.

Zu den wichtigsten unter diesen gehören wol die auf Ungleichungen
bezüglichen, von welchen wir eine Gruppe zu Anfang und Ende des
§ 40 zusammengestellt haben, denselben späterhin gelegentlich --
§ 41, d), e) und § 44, z) -- noch weitere hinzufügend.

Demnächst aber möchten vor allem noch diejenigen Sätze Be-
achtung verdienen, welche die im Subsumtionszeichen mit zugelassene
Beziehung der Unterordnung für sich, oder getrennt von der Gleich-
heit, betreffen.

Geht man die im § 29 übersichtlich zusammengestellten Sätze des
identischen Kalkuls darauf hin durch, um zuzusehen, welche Modifika-
tionen sie erfahren, wenn statt eines vorkommenden Subsumtions-
zeichens oder Zeichens der eventuellen Unterordnung ein solches der
wirklichen oder definitiven Unterordnung eintritt, so wird man auf
folgendes Tableau von Formeln oder Sätzen geführt, welchen wir die
alte Chiffrirung belassen wollen, derselben nur -- zur Unterscheidung
-- Accente beifügend.

I'. (a a) = 0.
II'. (a b) (b c) (a c), II''. (a b) (b c) (a c)

in welchen beiden Fällen die Konklusion zugleich die volle Resultante
der Elimination von b aus der Prämisse ist; dagegen würde bei
II'''. (a b) (b c) (a c)
sie es nicht sein, vielmehr die volle Resultante lauten: (a c) K, wo
die "Klausel" K statuirt, dass a1 und c nicht einunddasselbe Indi-
viduum sein dürfen -- vergl. § 48. Ebenso geben wieder volle Resul-
tanten die Schlüsse:

2)' (a b) (b = c) (a c),3)' (a = b) (b c) (a c).
(1)' (a b) (b a) = (a b) (b a) = (a b) (b a) = 0,
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(c a) (c b)(a c) (b c)

§ 46. Studien.

Zieht man aber gar noch andere Beziehungszeichen mit heran,
so wächst die Menge der Sätze unabsehbar.

Zu den wichtigsten unter diesen gehören wol die auf Ungleichungen
bezüglichen, von welchen wir eine Gruppe zu Anfang und Ende des
§ 40 zusammengestellt haben, denselben späterhin gelegentlich —
§ 41, δ), ε) und § 44, ζ) — noch weitere hinzufügend.

Demnächst aber möchten vor allem noch diejenigen Sätze Be-
achtung verdienen, welche die im Subsumtionszeichen mit zugelassene
Beziehung der Unterordnung für sich, oder getrennt von der Gleich-
heit, betreffen.

Geht man die im § 29 übersichtlich zusammengestellten Sätze des
identischen Kalkuls darauf hin durch, um zuzusehen, welche Modifika-
tionen sie erfahren, wenn statt eines vorkommenden Subsumtions-
zeichens oder Zeichens der eventuellen Unterordnung ein solches der
wirklichen oder definitiven Unterordnung eintritt, so wird man auf
folgendes Tableau von Formeln oder Sätzen geführt, welchen wir die
alte Chiffrirung belassen wollen, derselben nur — zur Unterscheidung
— Accente beifügend.

I'. (a ⊂ a) = 0.
II'. (a ⊆ b) (b ⊂ c) ⊆ (a ⊂ c), II''. (a ⊂ b) (b ⊆ c) ⊆ (a ⊂ c)

in welchen beiden Fällen die Konklusion zugleich die volle Resultante
der Elimination von b aus der Prämisse ist; dagegen würde bei
II'''. (a ⊂ b) (b ⊂ c) ⊆ (a ⊂ c)
sie es nicht sein, vielmehr die volle Resultante lauten: (a ⊂ c) K, wo
die „Klausel“ K statuirt, dass a1 und c nicht einunddasselbe Indi-
viduum sein dürfen — vergl. § 48. Ebenso geben wieder volle Resul-
tanten die Schlüsse:

2)' (a ⊂ b) (b = c) ⊆ (a ⊂ c),3)' (a = b) (b ⊂ c) ⊆ (a ⊂ c).
(1)' (a ⊂ b) (b ⊆ a) = (a ⊆ b) (b ⊂ a) = (a ⊂ b) (b ⊂ a) = 0,
(1)'' (a ⊂ b) ⊆ (a ⊆ b),(1)''' (a ⊂ b) ⊆ (a ≠ b).
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(3×)' (c ⊂ a b) ⊆ (c ⊂ a) (c ⊂ b) ⊆ (c ⊆ a b) |
(3+)' | (a + b ⊂ c) ⊆ (a ⊂ c) (b ⊂ c) ⊆ (a + b ⊆ c)
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(c ⊂ a) (c ⊆ b)(a ⊂ c) (b ⊆ c)

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[315/0339] § 46. Studien. Zieht man aber gar noch andere Beziehungszeichen mit heran, so wächst die Menge der Sätze unabsehbar. Zu den wichtigsten unter diesen gehören wol die auf Ungleichungen bezüglichen, von welchen wir eine Gruppe zu Anfang und Ende des § 40 zusammengestellt haben, denselben späterhin gelegentlich — § 41, δ), ε) und § 44, ζ) — noch weitere hinzufügend. Demnächst aber möchten vor allem noch diejenigen Sätze Be- achtung verdienen, welche die im Subsumtionszeichen mit zugelassene Beziehung der Unterordnung für sich, oder getrennt von der Gleich- heit, betreffen. Geht man die im § 29 übersichtlich zusammengestellten Sätze des identischen Kalkuls darauf hin durch, um zuzusehen, welche Modifika- tionen sie erfahren, wenn statt eines vorkommenden Subsumtions- zeichens oder Zeichens der eventuellen Unterordnung ein solches der wirklichen oder definitiven Unterordnung eintritt, so wird man auf folgendes Tableau von Formeln oder Sätzen geführt, welchen wir die alte Chiffrirung belassen wollen, derselben nur — zur Unterscheidung — Accente beifügend. I'. (a ⊂ a) = 0. II'. (a  b) (b ⊂ c)  (a ⊂ c), II''. (a ⊂ b) (b  c)  (a ⊂ c) in welchen beiden Fällen die Konklusion zugleich die volle Resultante der Elimination von b aus der Prämisse ist; dagegen würde bei II'''. (a ⊂ b) (b ⊂ c)  (a ⊂ c) sie es nicht sein, vielmehr die volle Resultante lauten: (a ⊂ c) K, wo die „Klausel“ K statuirt, dass a1 und c nicht einunddasselbe Indi- viduum sein dürfen — vergl. § 48. Ebenso geben wieder volle Resul- tanten die Schlüsse: 2)' (a ⊂ b) (b = c)  (a ⊂ c), 3)' (a = b) (b ⊂ c)  (a ⊂ c). (1)' (a ⊂ b) (b  a) = (a  b) (b ⊂ a) = (a ⊂ b) (b ⊂ a) = 0, (1)'' (a ⊂ b)  (a  b), (1)''' (a ⊂ b)  (a ≠ b). (2×)' (a ≠ 0) = (0 ⊂ a) (2+)' (a ≠ 1) = (a ⊂ 1). 5)' (a ⊂ 0) = 0 = (1 ⊂ a). (3×)' (c ⊂ a b)  (c ⊂ a) (c ⊂ b)  (c  a b) | (3+)' | (a + b ⊂ c)  (a ⊂ c) (b ⊂ c)  (a + b  c) wo (c  a) (c ⊂ b) (a  c) (b ⊂ c) (c ⊂ a) (c  b) (a ⊂ c) (b  c)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 315. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/339>, abgerufen am 11.05.2024.