Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 46. Wichtige Studie. problemes ist auch auf Systeme von Boole'schen Prämissen ausdehnbar,resp. noch anwendbar: Nach Mitchell's in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt- Um McColl's Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage Da hienach Nun ist: Identifizirte man dagegen ps (x) mit der allgemeineren Mitchell'schen § 46. Wichtige Studie. problemes ist auch auf Systeme von Boole’schen Prämissen ausdehnbar,resp. noch anwendbar: Nach Mitchell’s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt- Um McColl’s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage Da hienach Nun ist: Identifizirte man dagegen ψ (x) mit der allgemeineren Mitchell’schen <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0337" n="313"/><fw place="top" type="header">§ 46. 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§ 46. Wichtige Studie.
problemes ist auch auf Systeme von Boole’schen Prämissen ausdehnbar,
resp. noch anwendbar:
Nach Mitchell’s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt-
aussage muss eine solche beim Wegfall aller partikularen oder Ungleichungs-
Faktoren von der Gestalt sein — vergl. § 41, α):
Σ (a x + b x1 = 1) und dies ist  Σ (a + b = 1)
welch letztere Aussage die Resultante der Elimination des x aus jener
vorstellt.
Um McColl’s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage
als eine Subsumtion: φ (x)  ψ (x) angesetzt zu denken. Und da sie nach
Th. 5̄+) als: i  Σ (a x + b x1 = 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter
φ (x) die i, unter ψ (x) die Aussage rechterhand Σ (a x + b x1 = 1) uns
vorstellen, müssen ebendamit die Symbole φ (x) und ψ (x) hier identifiziren.
Da hienach
φ (0) = i, φ (1) = i, φ1 (0) = 0, φ1 (1) = 0
sein wird, reduzirt sich McColl’s in § 27 gegebene Resultante zu:
ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 oder ψ (0) + ψ (1) = i.
Nun ist:
ψ (0) = Σ (b = 1), ψ (1) = Σ (a = 1),
und wird mithin die nach McColl’s Regel gebildete Resultante die Gültig-
keit der Aussagen behaupten:
Σ (a = 1) + Σ (b = 1);
und dies stimmt mit dem Obigen, in Anbetracht, dass im Aussagenkalkul
nach § 45, α+) oder β+) eben sein wird:
(a + b = 1) = (a = 1) + (b = 1)
wie denn vorstehend die 1 ohne Tupfen als einerlei mit i zu gelten hatte.
Identifizirte man dagegen ψ (x) mit der allgemeineren Mitchell’schen
Gesamtaussage:
Σ (a x + b x1 = 1) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) …,
wonach wir hätten:
ψ (1) = Σ (a = 1) (p ≠ 0) (r ≠ 0) ‥, ψ (0) = Σ (b = 1) (q ≠ 0) (s ≠ 0) ‥
so ergäbe sich als Resultante der Elimination von x aus i  ψ (x) eine
Aussage:
i  ψ (1) + ψ (0),
welche verglichen mit unsrer richtigen Resultante rechts in φ) des § 41:
i  Σ (a + b = 1) (p a + q b ≠ 0) (r a + s b ≠ 0) …
viel zu viel behauptet, deren Geltung zwar durch diese als eine möglicher-
weise zutreffende nicht ausgeschlossen ist, welche jedoch keineswegs zu gelten
braucht. —
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 313. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/337>, abgerufen am 16.07.2024. |