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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Aufgaben und Studien.
(a1 + b1) {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1} + (a + b1) {a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d)} 0,
indem der Boole'sche Faktor der Resultante auf (1 = 1) = i hinaus-
läuft. Ausmultiplizirend erhalten wir zunächst:
(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1 + a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d) 0
oder thunlichst reduzirt:
(a c1) + (a b1 + a1 b c d1 + c1 d).

Dieses (zuverlässig richtige) Ergebniss stimmt nicht mit dem von den
Lösern gewonnenen. Herr Macfarlane u. s. w. ersetzt die Ungleichung
A B durch eine Gleichung A + v = B + w, wo v, w unbestimmt sein
sollen aber nicht gleichzeitig O sein dürfen etc. Dies ist zwar ein Umweg,
indessen angängig. Das unrichtige Resultat ergab sich ihm zufolge unge-
rechtfertigten Operirens mit dem Minus-Zeichen, dessen Gesetze aus der
Arithmetik in den identischen Kalkul nicht ohne weiteres übertragen werden
dürfen und dessen Anwendung daher im letzteren besser ganz vermieden
wird. Wir haben schon beim Hauber'schen Satze Veranlassung gehabt,
darauf aufmerksam zu machen, wie das gleiche Verfahren, vor welchem
hier gewarnt wird, auch andere namhafte Autoren schon in Fehler führte.
Herrn Macfarlane's und Frau Franklin's Ergebniss lautet:
a (b d1 + b1 d) c1 (b d1 + b1 d).

Das unsrige kann auch geschrieben werden in der Gestalt:
(a c1) + (a b + a1 b1 c d + c1 d1),
und ist dahin zu interpretiren: entweder die a sind nicht einerlei mit
den Nicht-c, oder was a und b oder keins von beiden ist fällt nicht
durchaus zusammen mit dem, was c und d oder keins von beiden ist.

Diese Aussage lässt sich indess noch weiter vereinfachen. Nach Th. 33+)
Zusatz können wir nämlich unsre Resultante auch schreiben:
(a c1) + (a = c1) (a b + a1 b1 c d + c1 d1).
Unter der Voraussetzung a = c1 oder c = a1, sonach in unserm letzten
Aussagenfaktor, dürfen wir aber das Symbol c auch durch a1 ersetzen.
Wir erhalten, wenn wir auch den zugefügten Aussagenfaktor (a = c1) wieder
unterdrücken:
(a c1) + (a b + a1 b1 a1 d + a d1).

Nun lässt sich (als eine Bereicherung unsres § 19) das folgende
allgemeine Theorem:
(a x + b x1 = c x + d x1) = (a x = c x) (b x1 = d x1)
unschwer nach Th. 24+) und 39) rechnerisch beweisen.

Dasselbe lässt sich auch leicht auf beliebig viele Argumente aus-
dehnen zu dem noch allgemeinern Satze:

Wenn zwei Funktionen (im identischen Kalkul) einander gleich
sind, und dieselben nach irgend welchen, aber beide nach den näm-

§ 46. Aufgaben und Studien.
(a1 + b1) {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1} + (a + b1) {a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d)} ≠ 0,
indem der Boole’sche Faktor der Resultante auf (1 = 1) = i hinaus-
läuft. Ausmultiplizirend erhalten wir zunächst:
(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1 + a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d) ≠ 0
oder thunlichst reduzirt:
(a ≠ c1) + (a b1 + a1 b ≠ c d1 + c1 d).

Dieses (zuverlässig richtige) Ergebniss stimmt nicht mit dem von den
Lösern gewonnenen. Herr Macfarlane u. s. w. ersetzt die Ungleichung
A ≠ B durch eine Gleichung A + v = B + w, wo v, w unbestimmt sein
sollen aber nicht gleichzeitig O sein dürfen etc. Dies ist zwar ein Umweg,
indessen angängig. Das unrichtige Resultat ergab sich ihm zufolge unge-
rechtfertigten Operirens mit dem Minus-Zeichen, dessen Gesetze aus der
Arithmetik in den identischen Kalkul nicht ohne weiteres übertragen werden
dürfen und dessen Anwendung daher im letzteren besser ganz vermieden
wird. Wir haben schon beim Hauber’schen Satze Veranlassung gehabt,
darauf aufmerksam zu machen, wie das gleiche Verfahren, vor welchem
hier gewarnt wird, auch andere namhafte Autoren schon in Fehler führte.
Herrn Macfarlane’s und Frau Franklin’s Ergebniss lautet:
a (b d1 + b1 d) ≠ c1 (b d1 + b1 d).

Das unsrige kann auch geschrieben werden in der Gestalt:
(a ≠ c1) + (a b + a1 b1 ≠ c d + c1 d1),
und ist dahin zu interpretiren: entweder die a sind nicht einerlei mit
den Nicht-c, oder was a und b oder keins von beiden ist fällt nicht
durchaus zusammen mit dem, was c und d oder keins von beiden ist.

Diese Aussage lässt sich indess noch weiter vereinfachen. Nach Th. 3̅3̅+)
Zusatz können wir nämlich unsre Resultante auch schreiben:
(a ≠ c1) + (a = c1) (a b + a1 b1 ≠ c d + c1 d1).
Unter der Voraussetzung a = c1 oder c = a1, sonach in unserm letzten
Aussagenfaktor, dürfen wir aber das Symbol c auch durch a1 ersetzen.
Wir erhalten, wenn wir auch den zugefügten Aussagenfaktor (a = c1) wieder
unterdrücken:
(a ≠ c1) + (a b + a1 b1 ≠ a1 d + a d1).

Nun lässt sich (als eine Bereicherung unsres § 19) das folgende
allgemeine Theorem:
(a x + b x1 = c x + d x1) = (a x = c x) (b x1 = d x1)
unschwer nach Th. 24+) und 39) rechnerisch beweisen.

Dasselbe lässt sich auch leicht auf beliebig viele Argumente aus-
dehnen zu dem noch allgemeinern Satze:

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[309/0333] § 46. Aufgaben und Studien. (a1 + b1) {(a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1} + (a + b1) {a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d)} ≠ 0, indem der Boole’sche Faktor der Resultante auf (1 = 1) = i hinaus- läuft. Ausmultiplizirend erhalten wir zunächst: (a b1 + a1 b) (c d + c1 d1) + a1 c1 + a c + (a b + a1 b1) (c d1 + c1 d) ≠ 0 oder thunlichst reduzirt: (a ≠ c1) + (a b1 + a1 b ≠ c d1 + c1 d). Dieses (zuverlässig richtige) Ergebniss stimmt nicht mit dem von den Lösern gewonnenen. Herr Macfarlane u. s. w. ersetzt die Ungleichung A ≠ B durch eine Gleichung A + v = B + w, wo v, w unbestimmt sein sollen aber nicht gleichzeitig O sein dürfen etc. Dies ist zwar ein Umweg, indessen angängig. Das unrichtige Resultat ergab sich ihm zufolge unge- rechtfertigten Operirens mit dem Minus-Zeichen, dessen Gesetze aus der Arithmetik in den identischen Kalkul nicht ohne weiteres übertragen werden dürfen und dessen Anwendung daher im letzteren besser ganz vermieden wird. Wir haben schon beim Hauber’schen Satze Veranlassung gehabt, darauf aufmerksam zu machen, wie das gleiche Verfahren, vor welchem hier gewarnt wird, auch andere namhafte Autoren schon in Fehler führte. Herrn Macfarlane’s und Frau Franklin’s Ergebniss lautet: a (b d1 + b1 d) ≠ c1 (b d1 + b1 d). Das unsrige kann auch geschrieben werden in der Gestalt: (a ≠ c1) + (a b + a1 b1 ≠ c d + c1 d1), und ist dahin zu interpretiren: entweder die a sind nicht einerlei mit den Nicht-c, oder was a und b oder keins von beiden ist fällt nicht durchaus zusammen mit dem, was c und d oder keins von beiden ist. Diese Aussage lässt sich indess noch weiter vereinfachen. Nach Th. 3̅3̅+) Zusatz können wir nämlich unsre Resultante auch schreiben: (a ≠ c1) + (a = c1) (a b + a1 b1 ≠ c d + c1 d1). Unter der Voraussetzung a = c1 oder c = a1, sonach in unserm letzten Aussagenfaktor, dürfen wir aber das Symbol c auch durch a1 ersetzen. Wir erhalten, wenn wir auch den zugefügten Aussagenfaktor (a = c1) wieder unterdrücken: (a ≠ c1) + (a b + a1 b1 ≠ a1 d + a d1). Nun lässt sich (als eine Bereicherung unsres § 19) das folgende allgemeine Theorem: (a x + b x1 = c x + d x1) = (a x = c x) (b x1 = d x1) unschwer nach Th. 24+) und 39) rechnerisch beweisen. Dasselbe lässt sich auch leicht auf beliebig viele Argumente aus- dehnen zu dem noch allgemeinern Satze: Wenn zwei Funktionen (im identischen Kalkul) einander gleich sind, und dieselben nach irgend welchen, aber beide nach den näm-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 309. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/333>, abgerufen am 23.11.2024.