Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.Einundzwanzigste Vorlesung. = i und muss nach Def. (2+) A B1 i, also in der That A B1 C1sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3x): A B1 C C1. Da aber C C1 = 0 nach Th. 30x) ist, so haben wir A B1 0 oder nach Th. 5x): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben: A = A B, oder kraft Th. 20x): A B, wie zu zeigen gewesen. Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38x) sobald einmal Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden "re- Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem In diesem Falle können wir auch den Faktor: Einundzwanzigste Vorlesung. = i und muss nach Def. (2+) A B1 ⊆ i, also in der That A B1 ⊆ C1sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3×): A B1 ⊆ C C1. Da aber C C1 = 0 nach Th. 30×) ist, so haben wir A B1 ⊆ 0 oder nach Th. 5×): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben: A = A B, oder kraft Th. 20×): A ⊆ B, wie zu zeigen gewesen. Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38×) sobald einmal Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden „re- Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem In diesem Falle können wir auch den Faktor: <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0302" n="278"/><fw place="top" type="header">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/> = i und muss nach Def. 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Einundzwanzigste Vorlesung.
= i und muss nach Def. (2+) A B1  i, also in der That A B1  C1
sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3×):
A B1  C C1.
Da aber C C1 = 0 nach Th. 30×) ist, so haben wir A B1  0 oder
nach Th. 5×): A B1 = 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21+) oben:
A = A B, oder kraft Th. 20×): A  B, wie zu zeigen gewesen.
Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38×) sobald einmal
A B1  0 erkannt ist. —
Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden „re-
ductio“ ist die, dass aus der Annahme A B1 gefolgert wird: eine sich
unmittelbar als ungültig, „absurd“, zu erkennen gebende Proposition C,
wie z. B. das Ergebniss, dass 0 = 1 sei.
Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That
A B1  C
so haben wir auch, da C = (0 = 1) = 0 sein muss, wie vorhin
A B1  0, A B1 = 0,
somit nach Th. 38×):
A  B,
d. h. das behauptete Theorem ist bewiesen.
Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende
Satz:
C1 = (0 ≠ 1) = i,
welcher als selbstverständlich gültig anzusehen, formell gar nicht,
m. a. W. nicht ausdrücklich zur Sprache und der „Widerspruch“ als
solcher nicht notwendig zum Bewusstsein. —
Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem
bereits oben als mitzugelassen gekennzeichneten Falle, wo die Voraus-
setzung A des zu beweisenden Theorems als eine selbstverständliche
gilt und darum nicht ausdrücklich als solche erwähnt sein mochte;
dies ist derjenige Fall, wo das Theorem als ein „voraussetzungsloses“
lediglich hinausläuft auf die Behauptung der Gültigkeit einer Pro-
position B.
In diesem Falle können wir auch den Faktor:
A = (0 = 0) = i
bei A B1 als einen belanglosen unterdrücken, und haben blos die
Überlegung:
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 278. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/302>, abgerufen am 16.07.2024. |