Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Einundzwanzigste Vorlesung.

Klassen^*), so ist es ein Leichtes, die Formeln gemäss den am Schlusse
des § 30 gegebenen Andeutungen „gebietsdual“ umzuschreiben und so
eventuell erst ihr duales Gegenstück zu ermitteln.

In der That bekommen wir nun solchergestalt aus dem Obigen
das Tableau von „reinen“ Formeln:

γ_×) (a = 1) ⊆ (b ⊆ a)	γ_+) (a = 0) ⊆ (a ⊆ b)
δ_×) (a = 1) ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ (b = 1)}	δ_+) (b = 0) ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ (a = 0)}
ε_×) (a ⊆ b) (a = 1) ⊆ (b = 1)	ε_+) (a ⊆ b) (b = 0) ⊆ (a = 0)
*ζ_×) {(a ⊆ b) ⊆ (a = 1)} = (a = 1)	*ζ_+) {(a ⊆ b) ⊆ (b = 0)} = (b = 0)
η_×) (a ⊆ b) + (b = 1) = (a ⊆ b) = (a = 0) + (a ⊆ b) η_+)
*ϑ_×) {(a = 1) ⊆ (b ⊆ c)} = (a b ⊆ c)	*ϑ_+) {(a = 0) ⊆ (c ⊆ b)} = (c ⊆ a + b)
*ϰ_×) {(c ⊆ a) ⊆ (b = 1)} ⊆ (a ⊆ b)	*ϰ_+) {(b ⊆ c) ⊆ (a = 0)} ⊆ (a ⊆ b)

aus welchem ersichtlich ist, dass wir mit der dualen Umschreibung
nur zuweilen auch noch eine Buchstabenvertauschung verbunden hatten.

In dieser Fassung zeigen die meisten dieser Formeln sogar die
weitere Geltung, worauf die Abwesenheit des Sternes hinweisen soll,
und auch die besternten Gleichungen ζ), ϑ) gelten für alle Klassen
wenigstens einseitig, nämlich rückwärts als Subsumtionen gelesen.

Es erscheinen nämlich die Formeln γ) als blosse Umschreibungen der
Definitionen (2), desgleichen die η), welche aus denen γ) — die erstere γ_×)
in der Gestalt (b = 1) ⊆ (a ⊆ b) geschrieben — nach Th. 2̅0̅₊) hervorgehen.

Ebenso erscheinen δ) und ε) als blosse Umschreibungen der Theo-
reme 5).

Dass auch im Klassenkalkul:

ζ_×'') (a = 1) ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ (a = 1)}

ζ_+'') (b = 0) ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ (b = 0)}

versteht sich nach dem Schema γ_×) A ⊆ (B ⊆ A) von selbst — vergleiche
weiter unten die Formulirung dieses Schema’s in Worten. Desgleichen gilt
daselbst:

ϑ_×'') (a b ⊆ c) ⊆ {(a = 1) ⊆ (b ⊆ c)}

ϑ_+'') (c ⊆ a + b) ⊆ {(a = 0) ⊆ (c ⊆ b)}.

Denn ist — links z. B. — a b ⊆ c, so reduzirt sich, wenn a = 1 ist, eben
a b zu 1 · b oder b, und gilt also auch b ⊆ c; ist dagegen a nicht gleich 1,
mithin (a = 1) = 0, so gilt die Behauptung des Theorems ohnehin, auch
wenn b nicht ⊆ c sein sollte; und desgleichen für den Fall, wo a b nicht
⊆ c wäre, sagt das Theorem nichts aus, und gilt als ein „nichtssagendes“
auf die Prämisse 0 verweisendes jedenfalles.

*) Ohne Rücksicht darauf, ob sie dann auch mit der „weiteren Geltung“
fortbestehen werden.