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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Formeln gemischter Natur.
so namentlich gx), dx), die beiden, wie wir sehen werden, schon altbe-
kannten e), ferner thx0) und kx). Formel zx) gibt Peirce nur als Sub-
sumtion statt Gleichung, vergl. 8 p. 189, Z. 3 v. u., auch war ihm bei g+)
eine kleine Ungenauigkeit zu berichtigen -- vergl. die (mir separat zu-
geschickten) Corrigenda seines Aufsatzes 5, Z. 10 und 14 v. o. Seine
Formel 5 p. 31, Z. 2 u. 3 v. o. a (a b) + b nebst Herleitung (und
Satz am Schluss von p. 30) ist falsch und durch unser e) zu ersetzen.
Nicht zu billigen dürfte auch in 8 p. 188 sqq. die Art sein, wie Klammern
weggelassen werden.

Ausser dergleichen kleinen Berichtigungen lag mir ob, die Sätze dua-
listisch zu ergänzen, was bei den gemischten Formeln weniger nahe liegt
als bei den andern, und weiter unten eine besondere Erläuterung bean-
spruchen wird; auch glaube ich mit thx) den wahren Grund für die Äqui-
valenz thx0) hervorgehoben zu haben, welcher letztern übrigens Herr Peirce
eine zu grosse Wichtigkeit beizulegen scheint, indem er sie 8 p. 188 sogar
zu einem Prinzip erheben will.

Zunächst die Sätze aussagenrechnerisch zu beweisen ist nach den
in § 32 vorgetragnen Methoden eine blosse Rechenübung.

Hiefür bedarf es z. B. nur der Ansätze:

zu gx) a b1 + a,dx) a (a1 + b)1 + b = a b1 + b = a + b,
zu ex) (a1 + b) a = a b b,zx) (a1 + b)1 + a = a b1 + a = a,
zu thx) a1 + b1 + c = (a b)1 + c,kx) (c1 + a)1 + b = a1 c + b a1 + b.

Um sodann die nebeneinandergestellten Formeln als einander dua-
listisch entsprechende zu erkennen, muss man die gemischten sich erst
in reine Formeln umgeschrieben denken.

Jede Formel gemischter Natur im Aussagenkalkul lässt sich in der
That immer in eine solche von reinem Charakter umschreiben. Das Ver-
fahren besteht darin, dass man von den "nicht spezifizirten" nämlich
blos durch einen Buchstaben (wie a oder a1) dargestellten Aussagen,
welche in der gemischten Formel vorkommen, alle diejenigen in spezi-
fizirte Aussagen umwandelt, welche nicht als Gebiete oder Klassen
gedeutet werden könnten, indem sie eben mit spezifizirten Aussagen
wie (a b), (a = 0), (b i) etc. verknüpft erscheinen, sei es rech-
nerisch mittelst eines Operationszeichens wie ·, +, sei es vergleichend
mittelst des Zeichens einer Umfangsbeziehung, wie Einordnung,
Gleichheit oder deren Verneinungen. Zu jener Umwandlung aber
verhilft das Schema e) des § 32, nach welchem wir für a blos
zu sagen brauchen: (a = i) und für a1 auch werden sagen dürfen:
(a = 0).

Lässt man hernach den Tupfen über der i weg und deutet alle
einfachen Symbole (anstatt als Aussagen) jetzt als Gebiete oder

§ 45. Formeln gemischter Natur.
so namentlich γ×), δ×), die beiden, wie wir sehen werden, schon altbe-
kannten ε), ferner ϑ×0) und ϰ×). Formel ζ×) gibt Peirce nur als Sub-
sumtion statt Gleichung, vergl. 8 p. 189, Z. 3 v. u., auch war ihm bei γ+)
eine kleine Ungenauigkeit zu berichtigen — vergl. die (mir separat zu-
geschickten) Corrigenda seines Aufsatzes 5, Z. 10 und 14 v. o. Seine
Formel 5 p. 31, Z. 2 u. 3 v. o. a ⊆ (a ⊆ b) + b nebst Herleitung (und
Satz am Schluss von p. 30) ist falsch und durch unser η) zu ersetzen.
Nicht zu billigen dürfte auch in 8 p. 188 sqq. die Art sein, wie Klammern
weggelassen werden.

Ausser dergleichen kleinen Berichtigungen lag mir ob, die Sätze dua-
listisch zu ergänzen, was bei den gemischten Formeln weniger nahe liegt
als bei den andern, und weiter unten eine besondere Erläuterung bean-
spruchen wird; auch glaube ich mit ϑ×) den wahren Grund für die Äqui-
valenz ϑ×0) hervorgehoben zu haben, welcher letztern übrigens Herr Peirce
eine zu grosse Wichtigkeit beizulegen scheint, indem er sie 8 p. 188 sogar
zu einem Prinzip erheben will.

Zunächst die Sätze aussagenrechnerisch zu beweisen ist nach den
in § 32 vorgetragnen Methoden eine blosse Rechenübung.

Hiefür bedarf es z. B. nur der Ansätze:

zu γ×) a ⊆ b1 + a,δ×) a ⊆ (a1 + b)1 + b = a b1 + b = a + b,
zu ε×) (a1 + b) a = a b ⊆ b,ζ×) (a1 + b)1 + a = a b1 + a = a,
zu ϑ×) a1 + b1 + c = (a b)1 + c,ϰ×) (c1 + a)1 + b = a1 c + b ⊆ a1 + b.

Um sodann die nebeneinandergestellten Formeln als einander dua-
listisch entsprechende zu erkennen, muss man die gemischten sich erst
in reine Formeln umgeschrieben denken.

Jede Formel gemischter Natur im Aussagenkalkul lässt sich in der
That immer in eine solche von reinem Charakter umschreiben. Das Ver-
fahren besteht darin, dass man von den „nicht spezifizirten“ nämlich
blos durch einen Buchstaben (wie a oder a1) dargestellten Aussagen,
welche in der gemischten Formel vorkommen, alle diejenigen in spezi-
fizirte Aussagen umwandelt, welche nicht als Gebiete oder Klassen
gedeutet werden könnten, indem sie eben mit spezifizirten Aussagen
wie (a ⊆ b), (a = 0), (b ≠ i) etc. verknüpft erscheinen, sei es rech-
nerisch mittelst eines Operationszeichens wie ·, +, sei es vergleichend
mittelst des Zeichens einer Umfangsbeziehung, wie Einordnung,
Gleichheit oder deren Verneinungen. Zu jener Umwandlung aber
verhilft das Schema ε) des § 32, nach welchem wir für a blos
zu sagen brauchen: (a = i) und für a1 auch werden sagen dürfen:
(a = 0).

Lässt man hernach den Tupfen über der i weg und deutet alle
einfachen Symbole (anstatt als Aussagen) jetzt als Gebiete oder

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[263/0287] § 45. Formeln gemischter Natur. so namentlich γ×), δ×), die beiden, wie wir sehen werden, schon altbe- kannten ε), ferner ϑ×0) und ϰ×). Formel ζ×) gibt Peirce nur als Sub- sumtion statt Gleichung, vergl. 8 p. 189, Z. 3 v. u., auch war ihm bei γ+) eine kleine Ungenauigkeit zu berichtigen — vergl. die (mir separat zu- geschickten) Corrigenda seines Aufsatzes 5, Z. 10 und 14 v. o. Seine Formel 5 p. 31, Z. 2 u. 3 v. o. a  (a  b) + b nebst Herleitung (und Satz am Schluss von p. 30) ist falsch und durch unser η) zu ersetzen. Nicht zu billigen dürfte auch in 8 p. 188 sqq. die Art sein, wie Klammern weggelassen werden. Ausser dergleichen kleinen Berichtigungen lag mir ob, die Sätze dua- listisch zu ergänzen, was bei den gemischten Formeln weniger nahe liegt als bei den andern, und weiter unten eine besondere Erläuterung bean- spruchen wird; auch glaube ich mit ϑ×) den wahren Grund für die Äqui- valenz ϑ×0) hervorgehoben zu haben, welcher letztern übrigens Herr Peirce eine zu grosse Wichtigkeit beizulegen scheint, indem er sie 8 p. 188 sogar zu einem Prinzip erheben will. Zunächst die Sätze aussagenrechnerisch zu beweisen ist nach den in § 32 vorgetragnen Methoden eine blosse Rechenübung. Hiefür bedarf es z. B. nur der Ansätze: zu γ×) a  b1 + a, δ×) a  (a1 + b)1 + b = a b1 + b = a + b, zu ε×) (a1 + b) a = a b  b, ζ×) (a1 + b)1 + a = a b1 + a = a, zu ϑ×) a1 + b1 + c = (a b)1 + c, ϰ×) (c1 + a)1 + b = a1 c + b  a1 + b. Um sodann die nebeneinandergestellten Formeln als einander dua- listisch entsprechende zu erkennen, muss man die gemischten sich erst in reine Formeln umgeschrieben denken. Jede Formel gemischter Natur im Aussagenkalkul lässt sich in der That immer in eine solche von reinem Charakter umschreiben. Das Ver- fahren besteht darin, dass man von den „nicht spezifizirten“ nämlich blos durch einen Buchstaben (wie a oder a1) dargestellten Aussagen, welche in der gemischten Formel vorkommen, alle diejenigen in spezi- fizirte Aussagen umwandelt, welche nicht als Gebiete oder Klassen gedeutet werden könnten, indem sie eben mit spezifizirten Aussagen wie (a  b), (a = 0), (b ≠ i) etc. verknüpft erscheinen, sei es rech- nerisch mittelst eines Operationszeichens wie ·, +, sei es vergleichend mittelst des Zeichens einer Umfangsbeziehung, wie Einordnung, Gleichheit oder deren Verneinungen. Zu jener Umwandlung aber verhilft das Schema ε) des § 32, nach welchem wir für a blos zu sagen brauchen: (a = i) und für a1 auch werden sagen dürfen: (a = 0). Lässt man hernach den Tupfen über der i weg und deutet alle einfachen Symbole (anstatt als Aussagen) jetzt als Gebiete oder

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 263. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/287>, abgerufen am 09.05.2024.