Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Fünfzehnte Vorlesung.

irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden
befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der
einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „Endstrahlen“ der Geraden
(von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch
zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus
zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche
gehend.

Auch für jeden einzelnen Anfangs- oder Endpunkt einer zu dem
Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht
vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht;
man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen
oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt
die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt
vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1
benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu
bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit
ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]

Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja
sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da-
selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich
aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet
gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es
muss der „Mannigfaltigkeitslehre“ überlassen bleiben, alle hier denkbaren
Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.

Die identische Eins bedeutet hier, wie schon gesagt, die ganze
unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt-
gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit
0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält keinen
Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet der Geraden sein soll,
so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „nichts“.

Es mag uns die Figur:

[Abbildung]

[Abbildung] Fig. 1.

ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale
verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte
Strich als „Endstrahl“ unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die
Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke
dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet
werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der
sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links)
ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.

Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden,
so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit
wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden
(wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).