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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zwanzigste Vorlesung.

Der Eliminand heisst hier a. Sagten wir x dafür, so könnten
wir die Prämissen von A2) wie folgt schreiben:
(b x + 0 · x1 = 0) (g x + 0 e x1 0).
Als Resultante ergibt sich schon nach dem Satze i) des § 41:
(b · 0 = 0) (g b1 = 0 · 01 0) = (0 = 0) (b1 g 0) = i · (b1 g 0) = (b1 g 0)
wie dies eben der Satz A2) behauptet.

Ob man bei dieser Elimination vorzieht, so, wie es vorstehend geschah,
und wie ich es im allgemeinen thue, alle Aussagen auf das Prädikat 0
einzurichten (mit rechts auf 0 gebrachten Subsumtionen, Gleichungen und
Ungleichungen zu operiren), oder ob man mit Herrn Mitchell1 lieber
für das Subjekt 1 sich entscheidet (etwaige Subsumtionen links, die
Gleichungen und Ungleichungen einerseits auf 1 bringend), erscheint dabei
als ein nebensächlicher Umstand, bleibt in subjektives Belieben gestellt,
Geschmacksache.

Ich hege die Überzeugung, dass es nicht möglich sein wird, die
Syllogistik jemals in einer schöneren Weise zu erledigen, als es durch
Miss Ladd begründet ist -- wie wir vorstehend darzustellen versucht
haben: in weniger als eine Formel lassen die Syllogismen sich zuver-
lässig nicht komprimiren, und dabei an Durchsichtigkeit und Einfach-
heit die Formel A) noch zu übertreffen erscheint undenkbar.

Obiges dürfte wenigstens dann anzuerkennen sein, wenn auch dem
historisch Gewordenen sein Recht in der Syllogistik gewahrt bleiben,
wenn der Zusammenhang ihrer Betrachtungen mit der Gesamtheit der
Schlussformen der Wortsprache dabei aufrecht erhalten werden soll.

Sieht man freilich ab von den traditionellen Modi und Figuren,
und hält sich von vornherein lediglich an das Problem als ein rech-
nerisch in der Zeichensprache zu lösendes, so lassen die Betrachtungen
sich äusserlich noch erheblich viel mehr, als es vorstehend geschehen,
zusammendrängen -- wie denn schon Herr Cayley1 gezeigt hat, dass
das Problem der Syllogistik alsdann lediglich hinausläuft auf dasjenige
der Elimination von b aus den folgenden sechs Paaren von Prämissen:

(a b = 0) (b c = 0),(a b = 0) (b1 c = 0),
(a b = 0) (b c 0),(a b = 0) (b1 c 0),
(a b 0) (b c 0),(a b 0) (b1 c 0),
in welchen, wie man leicht nachweist, alle innerhalb des Rahmens der
gewöhnlichen Syllogistik erdenklichen Prämissensysteme der Art nach
enthalten sind, aus denen sie nämlich durch blossen Buchstabenwechsel,
als da ist: Vertauschung von b mit b1, resp. von a mit a1, c mit c1,
und vielleicht auch von a mit c, vollständig hervorgehen müssen.

Zwanzigste Vorlesung.

Der Eliminand heisst hier α. Sagten wir x dafür, so könnten
wir die Prämissen von A2) wie folgt schreiben:
(β x + 0 · x1 = 0) (γ x + 0 η x1 ≠ 0).
Als Resultante ergibt sich schon nach dem Satze ι) des § 41:
(β · 0 = 0) (γ β1 = 0 · 01 ≠ 0) = (0 = 0) (β1 γ ≠ 0) = i · (β1 γ ≠ 0) = (β1 γ ≠ 0)
wie dies eben der Satz A2) behauptet.

Ob man bei dieser Elimination vorzieht, so, wie es vorstehend geschah,
und wie ich es im allgemeinen thue, alle Aussagen auf das Prädikat 0
einzurichten (mit rechts auf 0 gebrachten Subsumtionen, Gleichungen und
Ungleichungen zu operiren), oder ob man mit Herrn Mitchell1 lieber
für das Subjekt 1 sich entscheidet (etwaige Subsumtionen links, die
Gleichungen und Ungleichungen einerseits auf 1 bringend), erscheint dabei
als ein nebensächlicher Umstand, bleibt in subjektives Belieben gestellt,
Geschmacksache.

Ich hege die Überzeugung, dass es nicht möglich sein wird, die
Syllogistik jemals in einer schöneren Weise zu erledigen, als es durch
Miss Ladd begründet ist — wie wir vorstehend darzustellen versucht
haben: in weniger als eine Formel lassen die Syllogismen sich zuver-
lässig nicht komprimiren, und dabei an Durchsichtigkeit und Einfach-
heit die Formel A) noch zu übertreffen erscheint undenkbar.

Obiges dürfte wenigstens dann anzuerkennen sein, wenn auch dem
historisch Gewordenen sein Recht in der Syllogistik gewahrt bleiben,
wenn der Zusammenhang ihrer Betrachtungen mit der Gesamtheit der
Schlussformen der Wortsprache dabei aufrecht erhalten werden soll.

Sieht man freilich ab von den traditionellen Modi und Figuren,
und hält sich von vornherein lediglich an das Problem als ein rech-
nerisch in der Zeichensprache zu lösendes, so lassen die Betrachtungen
sich äusserlich noch erheblich viel mehr, als es vorstehend geschehen,
zusammendrängen — wie denn schon Herr Cayley1 gezeigt hat, dass
das Problem der Syllogistik alsdann lediglich hinausläuft auf dasjenige
der Elimination von b aus den folgenden sechs Paaren von Prämissen:

(a b = 0) (b c = 0),(a b = 0) (b1 c = 0),
(a b = 0) (b c ≠ 0),(a b = 0) (b1 c ≠ 0),
(a b ≠ 0) (b c ≠ 0),(a b ≠ 0) (b1 c ≠ 0),
in welchen, wie man leicht nachweist, alle innerhalb des Rahmens der
gewöhnlichen Syllogistik erdenklichen Prämissensysteme der Art nach
enthalten sind, aus denen sie nämlich durch blossen Buchstabenwechsel,
als da ist: Vertauschung von b mit b1, resp. von a mit a1, c mit c1,
und vielleicht auch von a mit c, vollständig hervorgehen müssen.

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[234/0258] Zwanzigste Vorlesung. Der Eliminand heisst hier α. Sagten wir x dafür, so könnten wir die Prämissen von A2) wie folgt schreiben: (β x + 0 · x1 = 0) (γ x + 0 η x1 ≠ 0). Als Resultante ergibt sich schon nach dem Satze ι) des § 41: (β · 0 = 0) (γ β1 = 0 · 01 ≠ 0) = (0 = 0) (β1 γ ≠ 0) = i · (β1 γ ≠ 0) = (β1 γ ≠ 0) wie dies eben der Satz A2) behauptet. Ob man bei dieser Elimination vorzieht, so, wie es vorstehend geschah, und wie ich es im allgemeinen thue, alle Aussagen auf das Prädikat 0 einzurichten (mit rechts auf 0 gebrachten Subsumtionen, Gleichungen und Ungleichungen zu operiren), oder ob man mit Herrn Mitchell1 lieber für das Subjekt 1 sich entscheidet (etwaige Subsumtionen links, die Gleichungen und Ungleichungen einerseits auf 1 bringend), erscheint dabei als ein nebensächlicher Umstand, bleibt in subjektives Belieben gestellt, Geschmacksache. Ich hege die Überzeugung, dass es nicht möglich sein wird, die Syllogistik jemals in einer schöneren Weise zu erledigen, als es durch Miss Ladd begründet ist — wie wir vorstehend darzustellen versucht haben: in weniger als eine Formel lassen die Syllogismen sich zuver- lässig nicht komprimiren, und dabei an Durchsichtigkeit und Einfach- heit die Formel A) noch zu übertreffen erscheint undenkbar. Obiges dürfte wenigstens dann anzuerkennen sein, wenn auch dem historisch Gewordenen sein Recht in der Syllogistik gewahrt bleiben, wenn der Zusammenhang ihrer Betrachtungen mit der Gesamtheit der Schlussformen der Wortsprache dabei aufrecht erhalten werden soll. Sieht man freilich ab von den traditionellen Modi und Figuren, und hält sich von vornherein lediglich an das Problem als ein rech- nerisch in der Zeichensprache zu lösendes, so lassen die Betrachtungen sich äusserlich noch erheblich viel mehr, als es vorstehend geschehen, zusammendrängen — wie denn schon Herr Cayley1 gezeigt hat, dass das Problem der Syllogistik alsdann lediglich hinausläuft auf dasjenige der Elimination von b aus den folgenden sechs Paaren von Prämissen: (a b = 0) (b c = 0), (a b = 0) (b1 c = 0), (a b = 0) (b c ≠ 0), (a b = 0) (b1 c ≠ 0), (a b ≠ 0) (b c ≠ 0), (a b ≠ 0) (b1 c ≠ 0), in welchen, wie man leicht nachweist, alle innerhalb des Rahmens der gewöhnlichen Syllogistik erdenklichen Prämissensysteme der Art nach enthalten sind, aus denen sie nämlich durch blossen Buchstabenwechsel, als da ist: Vertauschung von b mit b1, resp. von a mit a1, c mit c1, und vielleicht auch von a mit c, vollständig hervorgehen müssen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 234. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/258>, abgerufen am 09.05.2024.