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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zwanzigste Vorlesung.
als der Sprachgebrauch eine Verneinung beim Subjekte und eine Parti-
kularisirung ein Quantifiziren beim Prädikate willkürlich ausschliesst.
Es würde uns gleichwol nicht verdienstlich erscheinen, diese Einseitig-
keit zu ergänzen, und etwa noch durch die Berücksichtigung von Prä-
missen, wie: "Alle nicht-a sind ... einige b", die Menge der Schluss-
formen zu vermehren.

Innerhalb der durch die erwähnte Ausschliessung bedingten
Schranken ist die Liste als eine vollständige zu bezeichnen. Dass alle
hier nicht aufgeführten Syllogismen, welche aus Urteilen der üblichen
vier Arten zusammengesetzt werden könnten, falsche Schlüsse sein
müssen, würde sich in der That durch eine kombinatorische Unter-
suchung nachweisen lassen, die sich recht mühsam darstellt für Den,
der an den Urteilsformen der Wortsprache klebt.

Mit a als Subjekt und b als Prädikat lässt die Wortsprache eben
nur die vier Urteile a) zu; wird b mit a vertauscht, so gibt dies noch-
mals vier; im Ganzen also sind 8 Urteile möglich, in welche als Subjekt
oder Prädikat zwei bestimmte Klassen a und b eingehen. Ebenso haben
wir 8 zwischen b und c denkbare Urteile. Die Kombination von diesen
als Obersätzen mit jenen als Untersätzen liefert 8 x 8 Paare von Urteilen
die als Prämissen in's Auge zu fassen wären. Zu jedem von diesen 64 Prä-
missenpaaren sind nun wieder 4 Urteile zwischen a und c als Konklusion
denkbar -- und zwar nur 4, nicht aber 8, weil in der Konklusion a als
Subjekt, c als Prädikat zu stehen hat und dieses Verhältniss nicht umge-
kehrt werden darf, beziehungsweise seine Umkehrung auf eine Vertauschung
von Obersatz und Untersatz hinausliefe, somit [in Anbetracht, dass die
Reihenfolge der Prämissen nach Prinzip I oder Th. 12x) des Aussagen-
kalkuls gleichgültig sein muss] auf eine blosse Wiederholung bereits auf-
gezählter Schlussformen hinauskommen müsste.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 22.

Wir hätten darnach 8 x 8 x 4 = 256 Sätze-
tripel durchzugehen, und würde nach Abzug der 24
in Tafel b) angeführten, bei den 232 übrigen dar-
zuthun sein, dass dieselben ungültige Schlüsse liefern.

In jedem einzelnen Falle eines unstichhaltigen
Syllogismus wird man solchen Nachweis immer leicht
dadurch liefern, dass man denselben durch Gebiete
(Kreise, Sphären) a, b, c exemplifizirt, bei welchen
sich die Prämissen als erfüllt zeigen, die angebliche
(oder fragliche, problematische, bestrittene) Konklusion aber als nicht erfüllt
herausstellt -- wie beispielsweise dies die Figur 22 uns leisten würde für
den Schluss:
a b, b' c a' c.

Im übrigen soll, gedachten Vollständigkeits-Nachweis in solcher Weise
zu liefern, als eine gerechte Strafe denjenigen Lesern überlassen bleiben,
die eine verbale Behandlung jeder rechnerischen vorziehen.

Übrigens vergleiche man dazu noch § 48, in welchem gezeigt wird,

Zwanzigste Vorlesung.
als der Sprachgebrauch eine Verneinung beim Subjekte und eine Parti-
kularisirung ein Quantifiziren beim Prädikate willkürlich ausschliesst.
Es würde uns gleichwol nicht verdienstlich erscheinen, diese Einseitig-
keit zu ergänzen, und etwa noch durch die Berücksichtigung von Prä-
missen, wie: „Alle nicht-a sind … einige b“, die Menge der Schluss-
formen zu vermehren.

Innerhalb der durch die erwähnte Ausschliessung bedingten
Schranken ist die Liste als eine vollständige zu bezeichnen. Dass alle
hier nicht aufgeführten Syllogismen, welche aus Urteilen der üblichen
vier Arten zusammengesetzt werden könnten, falsche Schlüsse sein
müssen, würde sich in der That durch eine kombinatorische Unter-
suchung nachweisen lassen, die sich recht mühsam darstellt für Den,
der an den Urteilsformen der Wortsprache klebt.

Mit a als Subjekt und b als Prädikat lässt die Wortsprache eben
nur die vier Urteile α) zu; wird b mit a vertauscht, so gibt dies noch-
mals vier; im Ganzen also sind 8 Urteile möglich, in welche als Subjekt
oder Prädikat zwei bestimmte Klassen a und b eingehen. Ebenso haben
wir 8 zwischen b und c denkbare Urteile. Die Kombination von diesen
als Obersätzen mit jenen als Untersätzen liefert 8 × 8 Paare von Urteilen
die als Prämissen in’s Auge zu fassen wären. Zu jedem von diesen 64 Prä-
missenpaaren sind nun wieder 4 Urteile zwischen a und c als Konklusion
denkbar — und zwar nur 4, nicht aber 8, weil in der Konklusion a als
Subjekt, c als Prädikat zu stehen hat und dieses Verhältniss nicht umge-
kehrt werden darf, beziehungsweise seine Umkehrung auf eine Vertauschung
von Obersatz und Untersatz hinausliefe, somit [in Anbetracht, dass die
Reihenfolge der Prämissen nach Prinzip I oder Th. 12×) des Aussagen-
kalkuls gleichgültig sein muss] auf eine blosse Wiederholung bereits auf-
gezählter Schlussformen hinauskommen müsste.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 22.

Wir hätten darnach 8 × 8 × 4 = 256 Sätze-
tripel durchzugehen, und würde nach Abzug der 24
in Tafel β) angeführten, bei den 232 übrigen dar-
zuthun sein, dass dieselben ungültige Schlüsse liefern.

In jedem einzelnen Falle eines unstichhaltigen
Syllogismus wird man solchen Nachweis immer leicht
dadurch liefern, dass man denselben durch Gebiete
(Kreise, Sphären) a, b, c exemplifizirt, bei welchen
sich die Prämissen als erfüllt zeigen, die angebliche
(oder fragliche, problematische, bestrittene) Konklusion aber als nicht erfüllt
herausstellt — wie beispielsweise dies die Figur 22 uns leisten würde für
den Schluss:
a ⊆ b, b' ⊆ c ∴ a' ⊆ c.

Im übrigen soll, gedachten Vollständigkeits-Nachweis in solcher Weise
zu liefern, als eine gerechte Strafe denjenigen Lesern überlassen bleiben,
die eine verbale Behandlung jeder rechnerischen vorziehen.

Übrigens vergleiche man dazu noch § 48, in welchem gezeigt wird,

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[226/0250] Zwanzigste Vorlesung. als der Sprachgebrauch eine Verneinung beim Subjekte und eine Parti- kularisirung ein Quantifiziren beim Prädikate willkürlich ausschliesst. Es würde uns gleichwol nicht verdienstlich erscheinen, diese Einseitig- keit zu ergänzen, und etwa noch durch die Berücksichtigung von Prä- missen, wie: „Alle nicht-a sind … einige b“, die Menge der Schluss- formen zu vermehren. Innerhalb der durch die erwähnte Ausschliessung bedingten Schranken ist die Liste als eine vollständige zu bezeichnen. Dass alle hier nicht aufgeführten Syllogismen, welche aus Urteilen der üblichen vier Arten zusammengesetzt werden könnten, falsche Schlüsse sein müssen, würde sich in der That durch eine kombinatorische Unter- suchung nachweisen lassen, die sich recht mühsam darstellt für Den, der an den Urteilsformen der Wortsprache klebt. Mit a als Subjekt und b als Prädikat lässt die Wortsprache eben nur die vier Urteile α) zu; wird b mit a vertauscht, so gibt dies noch- mals vier; im Ganzen also sind 8 Urteile möglich, in welche als Subjekt oder Prädikat zwei bestimmte Klassen a und b eingehen. Ebenso haben wir 8 zwischen b und c denkbare Urteile. Die Kombination von diesen als Obersätzen mit jenen als Untersätzen liefert 8 × 8 Paare von Urteilen die als Prämissen in’s Auge zu fassen wären. Zu jedem von diesen 64 Prä- missenpaaren sind nun wieder 4 Urteile zwischen a und c als Konklusion denkbar — und zwar nur 4, nicht aber 8, weil in der Konklusion a als Subjekt, c als Prädikat zu stehen hat und dieses Verhältniss nicht umge- kehrt werden darf, beziehungsweise seine Umkehrung auf eine Vertauschung von Obersatz und Untersatz hinausliefe, somit [in Anbetracht, dass die Reihenfolge der Prämissen nach Prinzip I oder Th. 12×) des Aussagen- kalkuls gleichgültig sein muss] auf eine blosse Wiederholung bereits auf- gezählter Schlussformen hinauskommen müsste. [Abbildung] [Abbildung Fig. 22.] Wir hätten darnach 8 × 8 × 4 = 256 Sätze- tripel durchzugehen, und würde nach Abzug der 24 in Tafel β) angeführten, bei den 232 übrigen dar- zuthun sein, dass dieselben ungültige Schlüsse liefern. In jedem einzelnen Falle eines unstichhaltigen Syllogismus wird man solchen Nachweis immer leicht dadurch liefern, dass man denselben durch Gebiete (Kreise, Sphären) a, b, c exemplifizirt, bei welchen sich die Prämissen als erfüllt zeigen, die angebliche (oder fragliche, problematische, bestrittene) Konklusion aber als nicht erfüllt herausstellt — wie beispielsweise dies die Figur 22 uns leisten würde für den Schluss: a  b, b'  c ∴ a'  c. Im übrigen soll, gedachten Vollständigkeits-Nachweis in solcher Weise zu liefern, als eine gerechte Strafe denjenigen Lesern überlassen bleiben, die eine verbale Behandlung jeder rechnerischen vorziehen. Übrigens vergleiche man dazu noch § 48, in welchem gezeigt wird,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 226. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/250>, abgerufen am 21.11.2024.