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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
A = (a + c) + (b + d) = a + b + c + d,
und
B = (p a + r c) (a + c) + (q b + s d) (b + d) = p a + q b + r c + s d
ist.

Wollen wir dagegen erst y eliminiren, so sind auch nach y zu
ordnen:
Ax, y = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1,
Bx, y = (p x + r x1) y + (q x + s x1) y1
und ergibt sich als Resultante:
S (Ax = 1) P (Bx 0),
wo
Ax = (a x + c x1) + (b x + d x1) = (a + b) x + (c + d) x1,
Bx = (p x + r x1) (a x + c x1) + (q x + s x1) (b x + d x1) = (p a + q b) x + (r c + s d) x1
bedeutet. Wird hieraus nun x regelrecht eliminirt, so ergibt sich die-
selbe Resultante ps) wie vorhin, nur dass die A und B zuerst in den
Formen erscheinen:
A = (a + b) + (c + d), B = (p a + q b) (a + b) + (r c + s d) (c + d)
was aber reduzirt auf das Obige hinausläuft.

Wir wollen ps) die rohe Resultante der simultanen Elimination
von x und y aus der Prämisse kh) nennen.

Weiter folgt dann, dass simultane Elimination des Paares x, y
von Symbolen und darauf folgende von z dasselbe Ergebniss liefern
muss, wie Einzelelimination von x und darauf folgende Simultanelimi-
nation des Paares y, z, und zwar weil beide Prozesse auf die succes-
sive Elimination von x, dann y, dann z hinauskommen müssen. Man
sieht hienach:

Auch die rohe Elimination ist bei beliebig vielen Eliminanden eine
kommutative und assoziative Operation.

Den gleichen Nachweis auch für die volle Elimination zu leisten,
ist ein noch offenes Problem, weil wir die vollen Resultanten noch
nicht anzugeben vermögen. Vorher schon gelänge er wol a priori.

Das bei ps) ersichtliche Bildungsgesetz für die rohe Resultante
der simultanen Elimination ist von zweien leicht auf beliebig viele
Eliminanden in gleicher Weise auszudehnen, und lässt sich, nachdem
die Aussagenfaktoren der Data nach dem System der Eliminanden "ent-
wickelt" sind, diese rohe Resultante der simultanen Ausmerzung des
ganzen Eliminandensystems augenblicklich hinschreiben, ohne dass
man nötig hätte zum Verfahren des successiven Eliminirens erst seine
Zuflucht zu nehmen. Die Regel dazu lautet:

Neunzehnte Vorlesung.
A = (a + c) + (b + d) = a + b + c + d,
und
B = (p a + r c) (a + c) + (q b + s d) (b + d) = p a + q b + r c + s d
ist.

Wollen wir dagegen erst y eliminiren, so sind auch nach y zu
ordnen:
Ax, y = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1,
Bx, y = (p x + r x1) y + (q x + s x1) y1
und ergibt sich als Resultante:
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wo
Ax = (a x + c x1) + (b x + d x1) = (a + b) x + (c + d) x1,
Bx = (p x + r x1) (a x + c x1) + (q x + s x1) (b x + d x1) = (p a + q b) x + (r c + s d) x1
bedeutet. Wird hieraus nun x regelrecht eliminirt, so ergibt sich die-
selbe Resultante ψ) wie vorhin, nur dass die A und B zuerst in den
Formen erscheinen:
A = (a + b) + (c + d), B = (p a + q b) (a + b) + (r c + s d) (c + d)
was aber reduzirt auf das Obige hinausläuft.

Wir wollen ψ) die rohe Resultante der simultanen Elimination
von x und y aus der Prämisse χ) nennen.

Weiter folgt dann, dass simultane Elimination des Paares x, y
von Symbolen und darauf folgende von z dasselbe Ergebniss liefern
muss, wie Einzelelimination von x und darauf folgende Simultanelimi-
nation des Paares y, z, und zwar weil beide Prozesse auf die succes-
sive Elimination von x, dann y, dann z hinauskommen müssen. Man
sieht hienach:

Auch die rohe Elimination ist bei beliebig vielen Eliminanden eine
kommutative und assoziative Operation.

Den gleichen Nachweis auch für die volle Elimination zu leisten,
ist ein noch offenes Problem, weil wir die vollen Resultanten noch
nicht anzugeben vermögen. Vorher schon gelänge er wol a priori.

Das bei ψ) ersichtliche Bildungsgesetz für die rohe Resultante
der simultanen Elimination ist von zweien leicht auf beliebig viele
Eliminanden in gleicher Weise auszudehnen, und lässt sich, nachdem
die Aussagenfaktoren der Data nach dem System der Eliminanden „ent-
wickelt“ sind, diese rohe Resultante der simultanen Ausmerzung des
ganzen Eliminandensystems augenblicklich hinschreiben, ohne dass
man nötig hätte zum Verfahren des successiven Eliminirens erst seine
Zuflucht zu nehmen. Die Regel dazu lautet:

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[214/0238] Neunzehnte Vorlesung. A = (a + c) + (b + d) = a + b + c + d, und B = (p a + r c) (a + c) + (q b + s d) (b + d) = p a + q b + r c + s d ist. Wollen wir dagegen erst y eliminiren, so sind auch nach y zu ordnen: Ax, y = (a x + c x1) y + (b x + d x1) y1, Bx, y = (p x + r x1) y + (q x + s x1) y1 und ergibt sich als Resultante: Σ (Ax = 1) Π (Bx ≠ 0), wo Ax = (a x + c x1) + (b x + d x1) = (a + b) x + (c + d) x1, Bx = (p x + r x1) (a x + c x1) + (q x + s x1) (b x + d x1) = (p a + q b) x + (r c + s d) x1 bedeutet. Wird hieraus nun x regelrecht eliminirt, so ergibt sich die- selbe Resultante ψ) wie vorhin, nur dass die A und B zuerst in den Formen erscheinen: A = (a + b) + (c + d), B = (p a + q b) (a + b) + (r c + s d) (c + d) was aber reduzirt auf das Obige hinausläuft. Wir wollen ψ) die rohe Resultante der simultanen Elimination von x und y aus der Prämisse χ) nennen. Weiter folgt dann, dass simultane Elimination des Paares x, y von Symbolen und darauf folgende von z dasselbe Ergebniss liefern muss, wie Einzelelimination von x und darauf folgende Simultanelimi- nation des Paares y, z, und zwar weil beide Prozesse auf die succes- sive Elimination von x, dann y, dann z hinauskommen müssen. Man sieht hienach: Auch die rohe Elimination ist bei beliebig vielen Eliminanden eine kommutative und assoziative Operation. Den gleichen Nachweis auch für die volle Elimination zu leisten, ist ein noch offenes Problem, weil wir die vollen Resultanten noch nicht anzugeben vermögen. Vorher schon gelänge er wol a priori. Das bei ψ) ersichtliche Bildungsgesetz für die rohe Resultante der simultanen Elimination ist von zweien leicht auf beliebig viele Eliminanden in gleicher Weise auszudehnen, und lässt sich, nachdem die Aussagenfaktoren der Data nach dem System der Eliminanden „ent- wickelt“ sind, diese rohe Resultante der simultanen Ausmerzung des ganzen Eliminandensystems augenblicklich hinschreiben, ohne dass man nötig hätte zum Verfahren des successiven Eliminirens erst seine Zuflucht zu nehmen. Die Regel dazu lautet:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 214. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/238>, abgerufen am 05.05.2024.