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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
p + q 0
die Eliminationsresultante sein muss.

Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der
That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist:
g) (p x + q x1 0) (p + q 0).

Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die --
nach der letzten Formel des Tableau's § 40, a') S. 194 gültigen beiden
Propositionen:
(p x 0) (p 0) und (q x1 0) (q 0)
gemäss Th. 17+) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser
Verknüpfung:
(p x 0) + (q x1 0) (p 0) + (q 0)
in die damit äquivalente Behauptung g) -- gemäss dem Schema
(a 0) + (b 0) = (a + b 0) des Tableau's a) zu Anfang des § 40
-- umschreiben.

Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul-
tante B = (p + q 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass
wenn diese Resultante B erfüllt ist, es immer ein die Prämisse
A = (p x + q x1 0)
erfüllendes x geben wird.

Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.

Da (p + q 0) = (p 0) + (q 0) ist, so wird, wenn B er-
füllt ist, entweder p 0 sein -- in diesem Falle genügt die Annahme
x = p -- oder es wird q 0 sein -- alsdann genügt es x1 = q, so-
mit x = q1 anzunehmen -- um hinzubringen, dass die Relation A sich
denknotwendig erfülle.

Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter
der Voraussetzung B in Gestalt von
x = p + q1, wofür x1 = p1 q,
auf alle Fälle ein Gebiet x angebbar ist, welches die Relation A er-
füllt, indem dann eben p x + q x1 = p + q selbst wird, mithin 0 ist.

Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge-
bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch
solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?

Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer
ein die Relation A erfüllendes x gibt, während A B war, ist klar, dass
ausser B keine weitere (unabhängige) Relation zwischen p und q (oder
auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus A folgen

§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
p + q ≠ 0
die Eliminationsresultante sein muss.

Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der
That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist:
γ) (p x + q x1 ≠ 0) ⊆ (p + q ≠ 0).

Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die —
nach der letzten Formel des Tableau’s § 40, α') S. 194 gültigen beiden
Propositionen:
(p x ≠ 0) ⊆ (p ≠ 0) und (q x1 ≠ 0) ⊆ (q ≠ 0)
gemäss Th. 1̅7̅+) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser
Verknüpfung:
(p x ≠ 0) + (q x1 ≠ 0) ⊆ (p ≠ 0) + (q ≠ 0)
in die damit äquivalente Behauptung γ) — gemäss dem Schema
(a ≠ 0) + (b ≠ 0) = (a + b ≠ 0) des Tableau’s α) zu Anfang des § 40
— umschreiben.

Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul-
tante B = (p + q ≠ 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass
wenn diese Resultante B erfüllt ist, es immer ein die Prämisse
A = (p x + q x1 ≠ 0)
erfüllendes x geben wird.

Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.

Da (p + q ≠ 0) = (p ≠ 0) + (q ≠ 0) ist, so wird, wenn B er-
füllt ist, entweder p ≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme
x = p — oder es wird q ≠ 0 sein — alsdann genügt es x1 = q, so-
mit x = q1 anzunehmen — um hinzubringen, dass die Relation A sich
denknotwendig erfülle.

Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter
der Voraussetzung B in Gestalt von
x = p + q1, wofür x1 = p1 q,
auf alle Fälle ein Gebiet x angebbar ist, welches die Relation A er-
füllt, indem dann eben p x + q x1 = p + q selbst wird, mithin ≠ 0 ist.

Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge-
bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch
solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?

Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer
ein die Relation A erfüllendes x gibt, während A ⊆ B war, ist klar, dass
ausser B keine weitere (unabhängige) Relation zwischen p und q (oder
auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus A folgen

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[201/0225] § 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle. p + q ≠ 0 die Eliminationsresultante sein muss. Behufs Beweises ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist: γ) (p x + q x1 ≠ 0)  (p + q ≠ 0). Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die — nach der letzten Formel des Tableau’s § 40, α') S. 194 gültigen beiden Propositionen: (p x ≠ 0)  (p ≠ 0) und (q x1 ≠ 0)  (q ≠ 0) gemäss Th. 1̅7̅+) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser Verknüpfung: (p x ≠ 0) + (q x1 ≠ 0)  (p ≠ 0) + (q ≠ 0) in die damit äquivalente Behauptung γ) — gemäss dem Schema (a ≠ 0) + (b ≠ 0) = (a + b ≠ 0) des Tableau’s α) zu Anfang des § 40 — umschreiben. Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul- tante B = (p + q ≠ 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass wenn diese Resultante B erfüllt ist, es immer ein die Prämisse A = (p x + q x1 ≠ 0) erfüllendes x geben wird. Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen. Da (p + q ≠ 0) = (p ≠ 0) + (q ≠ 0) ist, so wird, wenn B er- füllt ist, entweder p ≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme x = p — oder es wird q ≠ 0 sein — alsdann genügt es x1 = q, so- mit x = q1 anzunehmen — um hinzubringen, dass die Relation A sich denknotwendig erfülle. Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter der Voraussetzung B in Gestalt von x = p + q1, wofür x1 = p1 q, auf alle Fälle ein Gebiet x angebbar ist, welches die Relation A er- füllt, indem dann eben p x + q x1 = p + q selbst wird, mithin ≠ 0 ist. Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge- bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird? Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme B immer ein die Relation A erfüllendes x gibt, während A  B war, ist klar, dass ausser B keine weitere (unabhängige) Relation zwischen p und q (oder auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus A folgen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 201. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/225>, abgerufen am 05.05.2024.