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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
folgt gemäss Th. 2): (a 0) (a + b 0), das ist das zweite Theorem
rechts unter a'). Man könnte dieses aber auch durch beiderseitiges Negiren
gemäss Th. 37) aus dem ersteren ableiten. Etc.

Die Sätze drücken Thatsachen aus, die uns eigentlich mit den
Theoremen 22) und 24) bereits gegeben waren, nämlich: Verschwindet
eine Summe, so muss irgend ein Term derselben ebenfalls verschwinden.
Ist ein Term von 0 verschieden, so kann auch die Summe nicht 0 sein.
Verschwindet ein Faktor, so auch das Produkt. Und verschwindet ein
Produkt nicht, so muss ein beliebiger Faktor auch von 0 verschieden sein,
kann nicht verschwinden.

Worauf wir nun aber besonders hinweisen möchten, ist dieses.

Vier von den Theoremen a') -- die vier durch Unterwellen hervor-
gehobenen -- zeigen linkerhand im Minor oder der Voraussetzung der
Subsumtion ein Gebietsymbol b, welches rechterhand, im Major oder
der behaupteten Folgerung derselben, nicht vorkommt: sie leisten die
Elimination dieses Symbols b aus jenen Voraussetzungen, lehren, einen
von dem Werte des b ganz unabhängigen Schluss aus denselben (in
Bezug auf a allein) ziehen. [Ebenso bei der schon angedeuteten Ver-
allgemeinerung des Theorems a') würde die Elimination aller übrigen
Terme ausser a durch dasselbe geleistet erscheinen.]

Interessant ist es wiederum, die Art wahrzunehmen auf welche die
Elimination hier geleistet wird. Der Anblick der Resultante (rechts in der
Subsumtion) gegenübergehalten der gegebenen Relation oder Eliminations-
basis (zur Linken) zeigt, dass die Elimination auf die denkbar einfachste
Weise zu vollziehen ist: durch Tilgung des Eliminanden. In Worten: Soll
ein Symbol, welches als Faktor auftritt in einem = 1 oder 0 gesetzten
Produkte, desgleichen eines, welches als Summand steht in einer 1 oder
aber = 0 gesetzten Summe, aus dieser Relation eliminirt werden, so braucht
man dasselbe blos darin zu unterdrücken.

Die vier nicht unterwellten von unsern Theoremen a') enthalten
im Folgesatz einen Term b (von willkürlich anzunehmendem Werte),
der im Bedingungssatz der Subsumtion nicht erwähnt wird; sie lehren,
solchen Term neu einzuführen, leisten die "Introduktion" desselben --
das ist das Gegenstück zur Elimination!

Diese beiden Probleme werden nun in Bezug auf b als "Elimi-
nanden" oder "Introduzenden" durch die Sätze a') allerdings nur ge-
löst für Bedingungssätze oder Prämissen von einem gewissen Baue,
von sehr speziellem Charakter -- eben dem in a') angegebenen, wobei
nämlich jenes b nur als Faktor oder Summand eines mit der 0 oder
1 verglichenen Produkts resp. Summenausdrucks auftritt oder auf-
treten soll.

Man kann aber in Bezug auf ein beliebiges Symbol x oder ein

13*

§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
folgt gemäss Th. 2): (a ≠ 0) ⊆ (a + b ≠ 0), das ist das zweite Theorem
rechts unter α'). Man könnte dieses aber auch durch beiderseitiges Negiren
gemäss Th. 37) aus dem ersteren ableiten. Etc.

Die Sätze drücken Thatsachen aus, die uns eigentlich mit den
Theoremen 22) und 24) bereits gegeben waren, nämlich: Verschwindet
eine Summe, so muss irgend ein Term derselben ebenfalls verschwinden.
Ist ein Term von 0 verschieden, so kann auch die Summe nicht 0 sein.
Verschwindet ein Faktor, so auch das Produkt. Und verschwindet ein
Produkt nicht, so muss ein beliebiger Faktor auch von 0 verschieden sein,
kann nicht verschwinden.

Worauf wir nun aber besonders hinweisen möchten, ist dieses.

Vier von den Theoremen α') — die vier durch Unterwellen hervor-
gehobenen — zeigen linkerhand im Minor oder der Voraussetzung der
Subsumtion ein Gebietsymbol b, welches rechterhand, im Major oder
der behaupteten Folgerung derselben, nicht vorkommt: sie leisten die
Elimination dieses Symbols b aus jenen Voraussetzungen, lehren, einen
von dem Werte des b ganz unabhängigen Schluss aus denselben (in
Bezug auf a allein) ziehen. [Ebenso bei der schon angedeuteten Ver-
allgemeinerung des Theorems α') würde die Elimination aller übrigen
Terme ausser a durch dasselbe geleistet erscheinen.]

Interessant ist es wiederum, die Art wahrzunehmen auf welche die
Elimination hier geleistet wird. Der Anblick der Resultante (rechts in der
Subsumtion) gegenübergehalten der gegebenen Relation oder Eliminations-
basis (zur Linken) zeigt, dass die Elimination auf die denkbar einfachste
Weise zu vollziehen ist: durch Tilgung des Eliminanden. In Worten: Soll
ein Symbol, welches als Faktor auftritt in einem = 1 oder ≠ 0 gesetzten
Produkte, desgleichen eines, welches als Summand steht in einer ≠ 1 oder
aber = 0 gesetzten Summe, aus dieser Relation eliminirt werden, so braucht
man dasselbe blos darin zu unterdrücken.

Die vier nicht unterwellten von unsern Theoremen α') enthalten
im Folgesatz einen Term b (von willkürlich anzunehmendem Werte),
der im Bedingungssatz der Subsumtion nicht erwähnt wird; sie lehren,
solchen Term neu einzuführen, leisten die „Introduktion“ desselben —
das ist das Gegenstück zur Elimination!

Diese beiden Probleme werden nun in Bezug auf b als „Elimi-
nanden“ oder „Introduzenden“ durch die Sätze α') allerdings nur ge-
löst für Bedingungssätze oder Prämissen von einem gewissen Baue,
von sehr speziellem Charakter — eben dem in α') angegebenen, wobei
nämlich jenes b nur als Faktor oder Summand eines mit der 0 oder
1 verglichenen Produkts resp. Summenausdrucks auftritt oder auf-
treten soll.

Man kann aber in Bezug auf ein beliebiges Symbol x oder ein

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[195/0219] § 40. Umschau über noch zu lösende Probleme. folgt gemäss Th. 2): (a ≠ 0)  (a + b ≠ 0), das ist das zweite Theorem rechts unter α'). Man könnte dieses aber auch durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 37) aus dem ersteren ableiten. Etc. Die Sätze drücken Thatsachen aus, die uns eigentlich mit den Theoremen 22) und 24) bereits gegeben waren, nämlich: Verschwindet eine Summe, so muss irgend ein Term derselben ebenfalls verschwinden. Ist ein Term von 0 verschieden, so kann auch die Summe nicht 0 sein. Verschwindet ein Faktor, so auch das Produkt. Und verschwindet ein Produkt nicht, so muss ein beliebiger Faktor auch von 0 verschieden sein, kann nicht verschwinden. Worauf wir nun aber besonders hinweisen möchten, ist dieses. Vier von den Theoremen α') — die vier durch Unterwellen hervor- gehobenen — zeigen linkerhand im Minor oder der Voraussetzung der Subsumtion ein Gebietsymbol b, welches rechterhand, im Major oder der behaupteten Folgerung derselben, nicht vorkommt: sie leisten die Elimination dieses Symbols b aus jenen Voraussetzungen, lehren, einen von dem Werte des b ganz unabhängigen Schluss aus denselben (in Bezug auf a allein) ziehen. [Ebenso bei der schon angedeuteten Ver- allgemeinerung des Theorems α') würde die Elimination aller übrigen Terme ausser a durch dasselbe geleistet erscheinen.] Interessant ist es wiederum, die Art wahrzunehmen auf welche die Elimination hier geleistet wird. Der Anblick der Resultante (rechts in der Subsumtion) gegenübergehalten der gegebenen Relation oder Eliminations- basis (zur Linken) zeigt, dass die Elimination auf die denkbar einfachste Weise zu vollziehen ist: durch Tilgung des Eliminanden. In Worten: Soll ein Symbol, welches als Faktor auftritt in einem = 1 oder ≠ 0 gesetzten Produkte, desgleichen eines, welches als Summand steht in einer ≠ 1 oder aber = 0 gesetzten Summe, aus dieser Relation eliminirt werden, so braucht man dasselbe blos darin zu unterdrücken. Die vier nicht unterwellten von unsern Theoremen α') enthalten im Folgesatz einen Term b (von willkürlich anzunehmendem Werte), der im Bedingungssatz der Subsumtion nicht erwähnt wird; sie lehren, solchen Term neu einzuführen, leisten die „Introduktion“ desselben — das ist das Gegenstück zur Elimination! Diese beiden Probleme werden nun in Bezug auf b als „Elimi- nanden“ oder „Introduzenden“ durch die Sätze α') allerdings nur ge- löst für Bedingungssätze oder Prämissen von einem gewissen Baue, von sehr speziellem Charakter — eben dem in α') angegebenen, wobei nämlich jenes b nur als Faktor oder Summand eines mit der 0 oder 1 verglichenen Produkts resp. Summenausdrucks auftritt oder auf- treten soll. Man kann aber in Bezug auf ein beliebiges Symbol x oder ein 13*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 195. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/219>, abgerufen am 05.05.2024.