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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
genannte Disziplin hinein werden sie erst gebannt durch die oben er-
wähnte das Problem formell einschränkende Voraussetzung, dass durch die
letzten Unteraussagen nur Umfangsrelationen, nur Beziehungen zwischen
Klassen, konstatirt sein sollten. Diese Voraussetzung hatte zur Folge, dass
die Gebietsymbole oder Klassen A, B, C, D, ... in u) nur als Funktionen
im Gebietekalkul zu denken waren, welche aus andern Gebietsymbolen oder
Klassen a, b, c, ... x, y, ... lediglich mittelst der drei Spezies des iden-
tischen Kalkuls sich zusammensetzen.

Wogegen ohne die genannte Voraussetzung neben diesen auch andere
Knüpfungsarten und Beziehungszeichen (irgendwie z. B. Begriffe verbindend)
in ihrem Ausdruck zugelassen sein würden, welche als dem bisherigen
Kalkul fremde erst in der "Logik der Beziehungen überhaupt" einzuführen
sind oder eingeführt werden.

Da aber, wie schon S. 182 ausgeführt, auch für die Logik der Be-
ziehungen der identische Kalkul wiederum den äussern Rahmen bildet,
wie denn unser gesamtes Denken sich auch immer nur in Subsumtionen
bewegt (vergl. § 2), so kann jenes Hinausgreifen über das bisherige Gültig-
keitsbereich doch nur ein scheinbares sein. Eine andre Frage ist, ob nicht
die Hinzuziehung von Zahlbestimmungen ein solches wirklich in sich schlösse.

Ehe wir uns dem Probleme weiter zuwenden, wollen wir mit Miss
Ladd noch eine Gruppe von speziellen Folgerungen aus den eingangs
dieses Paragraphen unter a) und b) zusammengestellten Theoremen
hervorheben, und zwar die folgende:

a')
(a b = 1) (a = 1),(a + b = 0) (a = 0),
(a 1) (a b 1)(a 0) (a + b 0)
(a = 1) (a + b = 1),(a = 0) (a b = 0),
(a + b 1) (a 1)(a b 0) (a 0),
-- wo die Summen und Produkte von zweien auch über beliebig viele
(ausser dem beiderseits vorkommenden a noch ganz beliebig anzu-
nehmende) Terme ausgedehnt werden könnten.

Die vorstehenden Formeln a') ergeben sich in der That aus denen
a) gemäss den Theoremen 6n).

Beispielsweise haben wir (rechts vom Mittelstriche) nach dem Schema
A B A auch: (a = 0) (b = 0) (a = 0) und hieraus, in Verbindung
mit dem ersten Theorem rechts unter a): (a = 0) (b = 0) = (a + b = 0)
folgt gemäss Th. 3): (a + b = 0) (a = 0), d. i. das erste Theorem
rechts in a').

Ebenso ist nach dem Schema A A + B auch:
(a 0) (a 0) + (b 0),
und hieraus in Verbindung mit dem zweiten Theoreme rechts unter a)

Neunzehnte Vorlesung.
genannte Disziplin hinein werden sie erst gebannt durch die oben er-
wähnte das Problem formell einschränkende Voraussetzung, dass durch die
letzten Unteraussagen nur Umfangsrelationen, nur Beziehungen zwischen
Klassen, konstatirt sein sollten. Diese Voraussetzung hatte zur Folge, dass
die Gebietsymbole oder Klassen A, B, C, D, … in υ) nur als Funktionen
im Gebietekalkul zu denken waren, welche aus andern Gebietsymbolen oder
Klassen a, b, c, … x, y, … lediglich mittelst der drei Spezies des iden-
tischen Kalkuls sich zusammensetzen.

Wogegen ohne die genannte Voraussetzung neben diesen auch andere
Knüpfungsarten und Beziehungszeichen (irgendwie z. B. Begriffe verbindend)
in ihrem Ausdruck zugelassen sein würden, welche als dem bisherigen
Kalkul fremde erst in der „Logik der Beziehungen überhaupt“ einzuführen
sind oder eingeführt werden.

Da aber, wie schon S. 182 ausgeführt, auch für die Logik der Be-
ziehungen der identische Kalkul wiederum den äussern Rahmen bildet,
wie denn unser gesamtes Denken sich auch immer nur in Subsumtionen
bewegt (vergl. § 2), so kann jenes Hinausgreifen über das bisherige Gültig-
keitsbereich doch nur ein scheinbares sein. Eine andre Frage ist, ob nicht
die Hinzuziehung von Zahlbestimmungen ein solches wirklich in sich schlösse.

Ehe wir uns dem Probleme weiter zuwenden, wollen wir mit Miss
Ladd noch eine Gruppe von speziellen Folgerungen aus den eingangs
dieses Paragraphen unter α) und β) zusammengestellten Theoremen
hervorheben, und zwar die folgende:

α')
(a b = 1) ⊆ (a = 1),(a + b = 0) ⊆ (a = 0),
(a ≠ 1) ⊆ (a b ≠ 1)(a ≠ 0) ⊆ (a + b ≠ 0)
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(a + b ≠ 1) ⊆ (a ≠ 1)(a b ≠ 0) ⊆ (a ≠ 0),
— wo die Summen und Produkte von zweien auch über beliebig viele
(ausser dem beiderseits vorkommenden a noch ganz beliebig anzu-
nehmende) Terme ausgedehnt werden könnten.

Die vorstehenden Formeln α') ergeben sich in der That aus denen
α) gemäss den Theoremen 6̄).

Beispielsweise haben wir (rechts vom Mittelstriche) nach dem Schema
A B ⊆ A auch: (a = 0) (b = 0) ⊆ (a = 0) und hieraus, in Verbindung
mit dem ersten Theorem rechts unter α): (a = 0) (b = 0) = (a + b = 0)
folgt gemäss Th. 3̅): (a + b = 0) ⊆ (a = 0), d. i. das erste Theorem
rechts in α').

Ebenso ist nach dem Schema A ⊆ A + B auch:
(a ≠ 0) ⊆ (a ≠ 0) + (b ≠ 0),
und hieraus in Verbindung mit dem zweiten Theoreme rechts unter α)

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[194/0218] Neunzehnte Vorlesung. genannte Disziplin hinein werden sie erst gebannt durch die oben er- wähnte das Problem formell einschränkende Voraussetzung, dass durch die letzten Unteraussagen nur Umfangsrelationen, nur Beziehungen zwischen Klassen, konstatirt sein sollten. Diese Voraussetzung hatte zur Folge, dass die Gebietsymbole oder Klassen A, B, C, D, … in υ) nur als Funktionen im Gebietekalkul zu denken waren, welche aus andern Gebietsymbolen oder Klassen a, b, c, … x, y, … lediglich mittelst der drei Spezies des iden- tischen Kalkuls sich zusammensetzen. Wogegen ohne die genannte Voraussetzung neben diesen auch andere Knüpfungsarten und Beziehungszeichen (irgendwie z. B. Begriffe verbindend) in ihrem Ausdruck zugelassen sein würden, welche als dem bisherigen Kalkul fremde erst in der „Logik der Beziehungen überhaupt“ einzuführen sind oder eingeführt werden. Da aber, wie schon S. 182 ausgeführt, auch für die Logik der Be- ziehungen der identische Kalkul wiederum den äussern Rahmen bildet, wie denn unser gesamtes Denken sich auch immer nur in Subsumtionen bewegt (vergl. § 2), so kann jenes Hinausgreifen über das bisherige Gültig- keitsbereich doch nur ein scheinbares sein. Eine andre Frage ist, ob nicht die Hinzuziehung von Zahlbestimmungen ein solches wirklich in sich schlösse. Ehe wir uns dem Probleme weiter zuwenden, wollen wir mit Miss Ladd noch eine Gruppe von speziellen Folgerungen aus den eingangs dieses Paragraphen unter α) und β) zusammengestellten Theoremen hervorheben, und zwar die folgende: α')(a b = 1)  (a = 1), (a + b = 0)  (a = 0), (a ≠ 1)  (a b ≠ 1) (a ≠ 0)  (a + b ≠ 0) (a = 1)  (a + b = 1), (a = 0)  (a b = 0), (a + b ≠ 1)  (a ≠ 1) (a b ≠ 0)  (a ≠ 0), — wo die Summen und Produkte von zweien auch über beliebig viele (ausser dem beiderseits vorkommenden a noch ganz beliebig anzu- nehmende) Terme ausgedehnt werden könnten. Die vorstehenden Formeln α') ergeben sich in der That aus denen α) gemäss den Theoremen 6̄). Beispielsweise haben wir (rechts vom Mittelstriche) nach dem Schema A B  A auch: (a = 0) (b = 0)  (a = 0) und hieraus, in Verbindung mit dem ersten Theorem rechts unter α): (a = 0) (b = 0) = (a + b = 0) folgt gemäss Th. 3̅): (a + b = 0)  (a = 0), d. i. das erste Theorem rechts in α'). Ebenso ist nach dem Schema A  A + B auch: (a ≠ 0)  (a ≠ 0) + (b ≠ 0), und hieraus in Verbindung mit dem zweiten Theoreme rechts unter α)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 194. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/218>, abgerufen am 05.05.2024.