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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Peano's Anzahl der Aussagen über n Klassen.
a = (A B C = 0), b = (A B C1 = 0), g = (A B1 C = 0), d = (A B1 C1 = 0),
e = (A1 B C = 0), z = (A1 B C1 = 0), e = (A1 B1 C = 0), th = (A1 B1 C1 = 0);
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . th1 = (A1 B1 C1 0)
der vollständige Überblick derselben.

Unser Ergebniss war: Jede über die n Klassen A, B, C, ... abgeb-
bare Aussage, auch jedes erdenkliche System und jede Alternative von
solchen Aussagen, ist eine Funktion (im identischen Kalkul, in seiner
Anwendung als Aussagenkalkul) von den 2n primitiven Aussagen, und
nur von diesen, aus denen sie ausschliesslich aufgebaut erscheint. Die
(Gesamt-) Aussage hat die Form:
F (a, b, g, ...).
Bei n = 3 ist sie mithin darstellbar durch
F (a, b, g, d, e, z, e, th).

Diese Funktion kann nach ihren 2n Argumenten "entwickelt"
werden. Die Entwickelung setzt sich zusammen aus irgendwelchen
Konstituenten, hervorgehoben aus der identischen Entwickelung der
Aussagen-Eins:
i = a b g d .. + ... + a1 b1 g1 d1 ..
nach ebendiesen Argumenten. Solche Entwickelung hat a priori
2m Glieder, wenn
m = 2n
die Zahl der Argumente vorstellte. Von diesen Gliedern ist aber das
erste aussagenrechnerisch gleich null, nämlich:
a b g d ... = 0
eine Inkonsistenz, indem das gleichzeitige Erfülltsein der linkseitigen
Faktoraussagen stipuliren würde: das gleichzeitige Verschwinden sämt-
licher 2n Konstituenten jener Entwickelung der Klassen-Eins 1 nach
den n Argumenten A, B, C, ..., mithin, da ihre Summe bekanntlich
eben gleich 1 ist, auf die absurde Forderung 1 = 0 hinausliefe.

Es wird also von unsern 2m Gliedern das erste zu unterdrücken
sein, und bleiben nur
r = 2m -- 1
Konstituenten zur Summe i vereinigt stehen.

Unsre Funktion (Aussage) F kann nur sein eine additive Kombi-
nation von irgend welchen dieser r Glieder. Nicht nur weil in F
keine andern als die m primitiven Aussagen a, b, g, ... als Argumente

Schröder, Algebra der Logik. II. 12

§ 39. Peano’s Anzahl der Aussagen über n Klassen.
α = (A B C = 0), β = (A B C1 = 0), γ = (A B1 C = 0), δ = (A B1 C1 = 0),
ε = (A1 B C = 0), ζ = (A1 B C1 = 0), η = (A1 B1 C = 0), ϑ = (A1 B1 C1 = 0);
α1 = (A B C ≠ 0), β1 = (A B C1 ≠ 0), . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϑ1 = (A1 B1 C1 ≠ 0)
der vollständige Überblick derselben.

Unser Ergebniss war: Jede über die n Klassen A, B, C, … abgeb-
bare Aussage, auch jedes erdenkliche System und jede Alternative von
solchen Aussagen, ist eine Funktion (im identischen Kalkul, in seiner
Anwendung als Aussagenkalkul) von den 2n primitiven Aussagen, und
nur von diesen, aus denen sie ausschliesslich aufgebaut erscheint. Die
(Gesamt-) Aussage hat die Form:
F (α, β, γ, …).
Bei n = 3 ist sie mithin darstellbar durch
F (α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ).

Diese Funktion kann nach ihren 2n Argumenten „entwickelt“
werden. Die Entwickelung setzt sich zusammen aus irgendwelchen
Konstituenten, hervorgehoben aus der identischen Entwickelung der
Aussagen-Eins:
i = α β γ δ ‥ + … + α1 β1 γ1 δ1 ‥
nach ebendiesen Argumenten. Solche Entwickelung hat a priori
2m Glieder, wenn
m = 2n
die Zahl der Argumente vorstellte. Von diesen Gliedern ist aber das
erste aussagenrechnerisch gleich null, nämlich:
α β γ δ … = 0
eine Inkonsistenz, indem das gleichzeitige Erfülltsein der linkseitigen
Faktoraussagen stipuliren würde: das gleichzeitige Verschwinden sämt-
licher 2n Konstituenten jener Entwickelung der Klassen-Eins 1 nach
den n Argumenten A, B, C, …, mithin, da ihre Summe bekanntlich
eben gleich 1 ist, auf die absurde Forderung 1 = 0 hinausliefe.

Es wird also von unsern 2m Gliedern das erste zu unterdrücken
sein, und bleiben nur
r = 2m — 1
Konstituenten zur Summe i vereinigt stehen.

Unsre Funktion (Aussage) F kann nur sein eine additive Kombi-
nation von irgend welchen dieser r Glieder. Nicht nur weil in F
keine andern als die m primitiven Aussagen α, β, γ, … als Argumente

Schröder, Algebra der Logik. II. 12
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[177/0201] § 39. Peano’s Anzahl der Aussagen über n Klassen. α = (A B C = 0), β = (A B C1 = 0), γ = (A B1 C = 0), δ = (A B1 C1 = 0), ε = (A1 B C = 0), ζ = (A1 B C1 = 0), η = (A1 B1 C = 0), ϑ = (A1 B1 C1 = 0); α1 = (A B C ≠ 0), β1 = (A B C1 ≠ 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϑ1 = (A1 B1 C1 ≠ 0) der vollständige Überblick derselben. Unser Ergebniss war: Jede über die n Klassen A, B, C, … abgeb- bare Aussage, auch jedes erdenkliche System und jede Alternative von solchen Aussagen, ist eine Funktion (im identischen Kalkul, in seiner Anwendung als Aussagenkalkul) von den 2n primitiven Aussagen, und nur von diesen, aus denen sie ausschliesslich aufgebaut erscheint. Die (Gesamt-) Aussage hat die Form: F (α, β, γ, …). Bei n = 3 ist sie mithin darstellbar durch F (α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ). Diese Funktion kann nach ihren 2n Argumenten „entwickelt“ werden. Die Entwickelung setzt sich zusammen aus irgendwelchen Konstituenten, hervorgehoben aus der identischen Entwickelung der Aussagen-Eins: i = α β γ δ ‥ + … + α1 β1 γ1 δ1 ‥ nach ebendiesen Argumenten. Solche Entwickelung hat a priori 2m Glieder, wenn m = 2n die Zahl der Argumente vorstellte. Von diesen Gliedern ist aber das erste aussagenrechnerisch gleich null, nämlich: α β γ δ … = 0 eine Inkonsistenz, indem das gleichzeitige Erfülltsein der linkseitigen Faktoraussagen stipuliren würde: das gleichzeitige Verschwinden sämt- licher 2n Konstituenten jener Entwickelung der Klassen-Eins 1 nach den n Argumenten A, B, C, …, mithin, da ihre Summe bekanntlich eben gleich 1 ist, auf die absurde Forderung 1 = 0 hinausliefe. Es wird also von unsern 2m Gliedern das erste zu unterdrücken sein, und bleiben nur r = 2m — 1 Konstituenten zur Summe i vereinigt stehen. Unsre Funktion (Aussage) F kann nur sein eine additive Kombi- nation von irgend welchen dieser r Glieder. Nicht nur weil in F keine andern als die m primitiven Aussagen α, β, γ, … als Argumente Schröder, Algebra der Logik. II. 12

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 177. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/201>, abgerufen am 05.05.2024.