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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.

Das "Polynom" einer solchen Gleichung oder Ungleichung ist irgend
ein Element der "Gruppe" G (A, B, C, ...) als deren Elementezahl wir in
Bd. 1, Anhaug 6 die Zahl 2n gefunden haben. Es kann daher auch nur 2n
solcher Gleichungen geben, von welchen jedoch die absurde 1 = 0 in Ab-
zug zu bringen wäre, desgleichen sind 2n Ungleichungen denkbar, von
welchen die Verneinung der absurden als nichtssagende zulässig bleibt.
Indessen soll von diesen Ergebnissen hier gar kein Gebrauch gemacht
werden.

Die linke Seite unsrer rechts auf 0 gebrachten Gleichung oder
Ungleichung kann nach ihren n Argumenten A, B, C, ... "entwickelt"
gedacht werden. Da von andern Klassen als ebendiesen nicht ge-
sprochen werden durfte, so können als Koeffizienten in gedachter Ent-
wickelung nur mehr 0 und 1 auftreten. Das heisst: unser Polynom
f (A, B, C, ...), oder f, setzt sich additiv zusammen aus irgend welchen
(nur bei der Gleichung nicht gerade sämtlichen) Konstituenten der
Entwickelung der identischen Eins nach denselben Argumenten, welche
lautet:
1 = A B C .. + ... + A1 B1 C1 ...
und wie bekannt 2n Glieder besitzt.

Sind a, b, c, d, ... die zu f zusammentretenden Glieder, sodass
f = a + b + c + d + ..., so lässt sich aber nach Th. 24+) die Gleichung
f = 0 zerspalten in das Produkt (System) einfacherer Gleichungen:
(f = 0) = (a = 0) (b = 0) (c = 0) (d = 0) ...
und demgemäss lässt auch nach Th. 32) und 36) die Ungleichung
f 0 sich zerlegen in die Summe (Alternative) von einfacheren Un-
gleichungen:
(f 0) = (a 0) + (b 0) + (c 0) + (d 0) + ...

Jede Funktion von lauter irgendwie gebildet gewesenen Glei-
chungen und Ungleichungen wird also auch sein: eine Funktion von
diesen einfacheren Gleichungen und Ungleichungen, und nur von
diesen -- die sich ergeben, indem man die 2n Konstituenten obiger
Entwickelung (der 1) einzeln = resp. 0 setzt.

Diese einfacheren Propositionen wollen wir die "primitiven" nennen
und mit a, b, g, ... a1, b1, ... bezeichnen. Sie kommen (höchstens) in
der Anzahl zwei mal 2n in Betracht, stellen sich dar als 2n Aussagen
nebst deren (ebensovielen) Verneinungen, sodass wir häufig auch nur
von den 2n primitiven Aussagen a, b, g, ... reden mögen -- ihre
Negationen als selbstverständlich dazu gehörige mit Stillschweigen
übergehend.

Für n = 3, wo 23 = 8, ist:

Achtzehnte Vorlesung.

Das „Polynom“ einer solchen Gleichung oder Ungleichung ist irgend
ein Element der „Gruppe“ G (A, B, C, …) als deren Elementezahl wir in
Bd. 1, Anhaug 6 die Zahl 2n gefunden haben. Es kann daher auch nur 2n
solcher Gleichungen geben, von welchen jedoch die absurde 1 = 0 in Ab-
zug zu bringen wäre, desgleichen sind 2n Ungleichungen denkbar, von
welchen die Verneinung der absurden als nichtssagende zulässig bleibt.
Indessen soll von diesen Ergebnissen hier gar kein Gebrauch gemacht
werden.

Die linke Seite unsrer rechts auf 0 gebrachten Gleichung oder
Ungleichung kann nach ihren n Argumenten A, B, C, … „entwickelt“
gedacht werden. Da von andern Klassen als ebendiesen nicht ge-
sprochen werden durfte, so können als Koeffizienten in gedachter Ent-
wickelung nur mehr 0 und 1 auftreten. Das heisst: unser Polynom
f (A, B, C, …), oder f, setzt sich additiv zusammen aus irgend welchen
(nur bei der Gleichung nicht gerade sämtlichen) Konstituenten der
Entwickelung der identischen Eins nach denselben Argumenten, welche
lautet:
1 = A B C ‥ + … + A1 B1 C1
und wie bekannt 2n Glieder besitzt.

Sind a, b, c, d, … die zu f zusammentretenden Glieder, sodass
f = a + b + c + d + …, so lässt sich aber nach Th. 24+) die Gleichung
f = 0 zerspalten in das Produkt (System) einfacherer Gleichungen:
(f = 0) = (a = 0) (b = 0) (c = 0) (d = 0) …
und demgemäss lässt auch nach Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) die Ungleichung
f ≠ 0 sich zerlegen in die Summe (Alternative) von einfacheren Un-
gleichungen:
(f ≠ 0) = (a ≠ 0) + (b ≠ 0) + (c ≠ 0) + (d ≠ 0) + …

Jede Funktion von lauter irgendwie gebildet gewesenen Glei-
chungen und Ungleichungen wird also auch sein: eine Funktion von
diesen einfacheren Gleichungen und Ungleichungen, und nur von
diesen — die sich ergeben, indem man die 2n Konstituenten obiger
Entwickelung (der 1) einzeln = resp. ≠ 0 setzt.

Diese einfacheren Propositionen wollen wir die „primitiven“ nennen
und mit α, β, γ, … α1, β1, … bezeichnen. Sie kommen (höchstens) in
der Anzahl zwei mal 2n in Betracht, stellen sich dar als 2n Aussagen
nebst deren (ebensovielen) Verneinungen, sodass wir häufig auch nur
von den 2n primitiven Aussagen α, β, γ, … reden mögen — ihre
Negationen als selbstverständlich dazu gehörige mit Stillschweigen
übergehend.

Für n = 3, wo 23 = 8, ist:

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[176/0200] Achtzehnte Vorlesung. Das „Polynom“ einer solchen Gleichung oder Ungleichung ist irgend ein Element der „Gruppe“ G (A, B, C, …) als deren Elementezahl wir in Bd. 1, Anhaug 6 die Zahl 2n gefunden haben. Es kann daher auch nur 2n solcher Gleichungen geben, von welchen jedoch die absurde 1 = 0 in Ab- zug zu bringen wäre, desgleichen sind 2n Ungleichungen denkbar, von welchen die Verneinung der absurden als nichtssagende zulässig bleibt. Indessen soll von diesen Ergebnissen hier gar kein Gebrauch gemacht werden. Die linke Seite unsrer rechts auf 0 gebrachten Gleichung oder Ungleichung kann nach ihren n Argumenten A, B, C, … „entwickelt“ gedacht werden. Da von andern Klassen als ebendiesen nicht ge- sprochen werden durfte, so können als Koeffizienten in gedachter Ent- wickelung nur mehr 0 und 1 auftreten. Das heisst: unser Polynom f (A, B, C, …), oder f, setzt sich additiv zusammen aus irgend welchen (nur bei der Gleichung nicht gerade sämtlichen) Konstituenten der Entwickelung der identischen Eins nach denselben Argumenten, welche lautet: 1 = A B C ‥ + … + A1 B1 C1 … und wie bekannt 2n Glieder besitzt. Sind a, b, c, d, … die zu f zusammentretenden Glieder, sodass f = a + b + c + d + …, so lässt sich aber nach Th. 24+) die Gleichung f = 0 zerspalten in das Produkt (System) einfacherer Gleichungen: (f = 0) = (a = 0) (b = 0) (c = 0) (d = 0) … und demgemäss lässt auch nach Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) die Ungleichung f ≠ 0 sich zerlegen in die Summe (Alternative) von einfacheren Un- gleichungen: (f ≠ 0) = (a ≠ 0) + (b ≠ 0) + (c ≠ 0) + (d ≠ 0) + … Jede Funktion von lauter irgendwie gebildet gewesenen Glei- chungen und Ungleichungen wird also auch sein: eine Funktion von diesen einfacheren Gleichungen und Ungleichungen, und nur von diesen — die sich ergeben, indem man die 2n Konstituenten obiger Entwickelung (der 1) einzeln = resp. ≠ 0 setzt. Diese einfacheren Propositionen wollen wir die „primitiven“ nennen und mit α, β, γ, … α1, β1, … bezeichnen. Sie kommen (höchstens) in der Anzahl zwei mal 2n in Betracht, stellen sich dar als 2n Aussagen nebst deren (ebensovielen) Verneinungen, sodass wir häufig auch nur von den 2n primitiven Aussagen α, β, γ, … reden mögen — ihre Negationen als selbstverständlich dazu gehörige mit Stillschweigen übergehend. Für n = 3, wo 23 = 8, ist:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 176. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/200>, abgerufen am 16.04.2024.