Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.

Was die Begründung der Formeln im übrigen betrifft, so wurde
die erste links schon unter 16⁰) aus dieser Hauptgleichung entnommen;
(die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der
siebenten Gleichung links g = α, die als Definition galt, sich auch die
siebente rechts aus 16⁰). — Ferner haben wir:
f = f h + f h₁ = h k₁ + γ nach 7⁰) und [8⁰],
e = e k + e k₁ = h₁ k + β nach 7⁰)' „ „,
womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. — Nach Th. 34₊)
ist endlich:
d = d · i = d (h k + h k₁ + h₁ k + h₁ k₁) = d h k + d h₁ k₁ = h k + δ
wegen 3⁰) und 3⁰)', sodann 3⁰)''' und [8⁰], womit auch die vierte
Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte
und zweite links gemäss 6⁰), indem sich bei der Addition dieses d mit
f resp. e das einemal
h k + h k₁ = h, das andremal h k + h₁ k = k
zusammenzieht. — Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder
die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen,
sucht man am besten nur die Ergänzung des unter a fallenden Terms
(innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle a selbst) direkt auf, und ent-
nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 16⁰); um die For-
meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe
zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte
man auch (h + k₁) a resp. (h₁ + k) a als ersten Term von e₁ resp. f₁
schreiben können.] —

Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten
den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort
einfach β) und γ) genannt]:
β̂) A (ist nicht) B — und γ̂) A ist (nicht B)
oder auch:
Alle A (sind nicht) B resp. Alle A sind (nicht-B)
— unter den A die Elemente oder Punkte des Gebietes A verstanden,
desgl. unter den B oder den Nicht-B Punkte ebendieser Gebiete.

Letztere Redensart, γ̂), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die:
„A ist Nicht-B“ repräsentirt den Fall:

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