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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 33. Boole's Kalkul unfähig, partikulare Urteile darzustellen.
jetzt an die Frage herantreten, wie denn hier auch die partikularen
Urteilsformen i und o wiederzugeben sein würden?

Für den Bedarf unsres bisherigen Klassenkalkuls haben vollkommen
ausgereicht: die beiden Beziehungszeichen der Subsumtion und der Gleich-
heit und die Operationen der drei Spezies (Multiplikation, Addition und
Negation) als ausgeführt an Klassen.

Hier ist nun zunächst die Thatsache zu konstatiren: dass mit diesen
Mitteln allein die partikularen Urteile nicht ausgedrückt werden können,
dass also mit jenen beiden Beziehungszeichen und diesen drei Operationen,
ausgeführt an den zum Subjekt und Prädikatbegriffe gehörigen oder
beisteuernden beiden Klassen A, B und irgend welchen andern Klassen
das gesteckte Ziel sich unmöglich erreichen lässt.

Boole und nach ihm Jevons haben allerdings geglaubt, dies zu ver-
mögen -- ein Irrtum, welchen ebenfalls geteilt zu haben Miss Ladd 1
pag. 24 implicite mir fälschlich zuschreibt.

Die erstgenannten wähnten durch eine Gleichung:
w A = w B,
in welcher w ein unbestimmtes Klassensymbol vorstellt, das Urteil i dar-
stellen zu können: einige A sind B.

Dass aber solches nicht angängig ist, erkennt man augenblicklich, sofern
man nur bemerkt, dass speziell für w = 0, desgleichen für w = A B, die obige
Gleichung immer identisch erfüllt ist -- ob einige A auch B sein mögen, oder nicht.

Es kann daher, solange man die Bedeutung von w offen lässt, durch
die Gleichung w A = w B keine Relation zwischen A und B ausgedrückt
werden. [In der That gibt Elimination von w aus ihr blos 0 = 0 zur voll-
ständigen Resultante.]

Wollte man aber vielleicht fordern, dass mit w die Vorstellung einer
Klasse verknüpft werde, welche eben diejenigen unter den A enthält, die
B sind, somit auch diejenigen unter den B, die A sind, eine Klasse, die
wir kürzer A B nennen mögen und bei welcher nur zu unterstellen bleibt,
dass sie keine leere, d. i. von 0 verschieden ist, so würde zu entgegnen
sein, dass eben diese Unterstellung die Hauptsache ist: Einige A müssen B
sein, sobald die Klasse A B keine leere, nicht gleich 0 ist, sowie um-
gekehrt -- und dass, wenn solches feststeht, der Ansatz w A = w B ganz
entbehrlich, eine überflüssige Weitläufigkeit wird. Gerade das Wichtigste
zu einem blos mental zu ergänzenden Anhängsel, einem mit Stillschweigen
übergangenen Vorbehalte von einer nichtssagenden Formalie zu machen, kann
sich unmöglich empfehlen.

Der allgemeinste Ausdruck für diejenige Klasse w, welche bei ganz
beliebig gegebenem Wertepaare A, B die Gleichung w A = w B schon ohnehin
erfüllt, würde beiläufig sein
w = u (A B + A1 B1),
worin u eine arbiträre Klasse bedeutet.

§ 33. Boole’s Kalkul unfähig, partikulare Urteile darzustellen.
jetzt an die Frage herantreten, wie denn hier auch die partikularen
Urteilsformen i und o wiederzugeben sein würden?

Für den Bedarf unsres bisherigen Klassenkalkuls haben vollkommen
ausgereicht: die beiden Beziehungszeichen der Subsumtion und der Gleich-
heit und die Operationen der drei Spezies (Multiplikation, Addition und
Negation) als ausgeführt an Klassen.

Hier ist nun zunächst die Thatsache zu konstatiren: dass mit diesen
Mitteln allein die partikularen Urteile nicht ausgedrückt werden können,
dass also mit jenen beiden Beziehungszeichen und diesen drei Operationen,
ausgeführt an den zum Subjekt und Prädikatbegriffe gehörigen oder
beisteuernden beiden Klassen A, B und irgend welchen andern Klassen
das gesteckte Ziel sich unmöglich erreichen lässt.

Boole und nach ihm Jevons haben allerdings geglaubt, dies zu ver-
mögen — ein Irrtum, welchen ebenfalls geteilt zu haben Miss Ladd 1
pag. 24 implicite mir fälschlich zuschreibt.

Die erstgenannten wähnten durch eine Gleichung:
w A = w B,
in welcher w ein unbestimmtes Klassensymbol vorstellt, das Urteil i dar-
stellen zu können: einige A sind B.

Dass aber solches nicht angängig ist, erkennt man augenblicklich, sofern
man nur bemerkt, dass speziell für w = 0, desgleichen für w = A B, die obige
Gleichung immer identisch erfüllt ist — ob einige A auch B sein mögen, oder nicht.

Es kann daher, solange man die Bedeutung von w offen lässt, durch
die Gleichung w A = w B keine Relation zwischen A und B ausgedrückt
werden. [In der That gibt Elimination von w aus ihr blos 0 = 0 zur voll-
ständigen Resultante.]

Wollte man aber vielleicht fordern, dass mit w die Vorstellung einer
Klasse verknüpft werde, welche eben diejenigen unter den A enthält, die
B sind, somit auch diejenigen unter den B, die A sind, eine Klasse, die
wir kürzer A B nennen mögen und bei welcher nur zu unterstellen bleibt,
dass sie keine leere, d. i. von 0 verschieden ist, so würde zu entgegnen
sein, dass eben diese Unterstellung die Hauptsache ist: Einige A müssen B
sein, sobald die Klasse A B keine leere, nicht gleich 0 ist, sowie um-
gekehrt — und dass, wenn solches feststeht, der Ansatz w A = w B ganz
entbehrlich, eine überflüssige Weitläufigkeit wird. Gerade das Wichtigste
zu einem blos mental zu ergänzenden Anhängsel, einem mit Stillschweigen
übergangenen Vorbehalte von einer nichtssagenden Formalie zu machen, kann
sich unmöglich empfehlen.

Der allgemeinste Ausdruck für diejenige Klasse w, welche bei ganz
beliebig gegebenem Wertepaare A, B die Gleichung w A = w B schon ohnehin
erfüllt, würde beiläufig sein
w = u (A B + A1 B1),
worin u eine arbiträre Klasse bedeutet.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 91. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/115>, abgerufen am 27.04.2024.