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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
einen Hälfte als die 12 rautenförmigen Seitenflächen des Granatoeders, zur
andern Hälfte als die im Innern des Körpers liegenden Rauten, die auf
zweien Gegenkanten einer vierkantigen Granatoederecke stehen und dessen
Mittelpunkt 8 oder 9 zur vierten Ecke haben. Und ganz deutlich wird
man nun allemal die beiden als Rhomboeder projizirten Würfel erblicken,
die auf irgend einer von den vorerwähnten 24 Rauten als auf einer
gemeinsamen Grundfläche stehen.

In der Regelmässigkeit der vorstehenden Figur prägt sich mit der
Umstand aus, dass die 16 Ecken des regulären Oktokubs auf dem vier-
dimensionalen Analogon einer Kugelfläche, auf einer "Vierer-Sphäre" liegen
müssen.

Würde die Seite des Quadrats oder Kante des Würfels und Oktokubs
zur Längeneinheit genommen, so würde nebenbei gesagt der Radius dieser
vierdimensionalen Hyper-Sphäre leicht als = [Formel 1] = 1 sich berechnen,
gleichwie der Radius der durch die Ecken eines Würfels gelegten (drei-
dimensionalen) Kugel = [Formel 2] , der des dem Quadrat umschriebenen
Kreises = [Formel 3] und der des "eindimensionalen Hypo-Kreises", gelegt
durch die Ecken des Zweiecks (der Strecke 1), = [Formel 4] = [Formel 5] ist. Die
dem Granatoeder umschreibbaren Kugeln, welche nämlich durch die Ecken
von einerlei Art desselben hindurchgehen, sind natürlich von kleinerem
Halbmesser, als dem vorerwähnten 1 der Hyper-Sphäre, und zwar wären
ihre Radien unschwer zu finden -- in Anbetracht, dass (nach einer Be-
merkung von Hertz) gleichwie in Fig. 43 die Quadratdiagonalen 23, 47,
etc. und die Dreiecke 235, 476) so in der räumlichen Figur zu Fig. 44 die
Würfeldiagonalflächen 4, 6, 16; 4, 6, 7, etc. sowie die Tetraeder 1, 10, 11, 13
und 4, 6, 7, 16 sich in natürlicher Grösse präsentiren müssen. Wol die
einfachste Veranschaulichung des Achtzells entnehme ich einem Modelle
Herrn Victor Schlegel's -- Modell Nr. 2
der 15. Serie (Projektionsmodelle der vier
ersten regelmässigen vierdimensionalen Kör-
per) aus der hübschen Sammlung von
Modellen für den höheren mathematischen
Unterricht, welche in L. Brill's Verlage
in Darmstadt erschienen. Das Gebilde ist
in des ersteren Abhandlung: "Theorie der
homogen zusammengesetzten Raumgebilde"
in den Nova acta der Ksl. Leop.-Carol.
Deutschen Akademie der Naturforscher,
Bd. 44, p. 343 .. 457, angeführt p. 434 --
auch als Stringham's reguläres "Oktae-
droid" (cf. American Journal of Math.
Vol. 3, p. 1 .. 14).

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 45.

Das Modell stellt eine centrische Projektion des Achtzells in unsern
Raum vor, analog derjenigen durch Fig. 45 dargestellten, bei der man

Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
einen Hälfte als die 12 rautenförmigen Seitenflächen des Granatoeders, zur
andern Hälfte als die im Innern des Körpers liegenden Rauten, die auf
zweien Gegenkanten einer vierkantigen Granatoederecke stehen und dessen
Mittelpunkt 8 oder 9 zur vierten Ecke haben. Und ganz deutlich wird
man nun allemal die beiden als Rhomboeder projizirten Würfel erblicken,
die auf irgend einer von den vorerwähnten 24 Rauten als auf einer
gemeinsamen Grundfläche stehen.

In der Regelmässigkeit der vorstehenden Figur prägt sich mit der
Umstand aus, dass die 16 Ecken des regulären Oktokubs auf dem vier-
dimensionalen Analogon einer Kugelfläche, auf einer „Vierer-Sphäre“ liegen
müssen.

Würde die Seite des Quadrats oder Kante des Würfels und Oktokubs
zur Längeneinheit genommen, so würde nebenbei gesagt der Radius dieser
vierdimensionalen Hyper-Sphäre leicht als = [Formel 1] = 1 sich berechnen,
gleichwie der Radius der durch die Ecken eines Würfels gelegten (drei-
dimensionalen) Kugel = [Formel 2] , der des dem Quadrat umschriebenen
Kreises = [Formel 3] und der des „eindimensionalen Hypo-Kreises“, gelegt
durch die Ecken des Zweiecks (der Strecke 1), = [Formel 4] = [Formel 5] ist. Die
dem Granatoeder umschreibbaren Kugeln, welche nämlich durch die Ecken
von einerlei Art desselben hindurchgehen, sind natürlich von kleinerem
Halbmesser, als dem vorerwähnten 1 der Hyper-Sphäre, und zwar wären
ihre Radien unschwer zu finden — in Anbetracht, dass (nach einer Be-
merkung von Hertz) gleichwie in Fig. 43 die Quadratdiagonalen 23, 47,
etc. und die Dreiecke 235, 476) so in der räumlichen Figur zu Fig. 44 die
Würfeldiagonalflächen 4, 6, 16; 4, 6, 7, etc. sowie die Tetraeder 1, 10, 11, 13
und 4, 6, 7, 16 sich in natürlicher Grösse präsentiren müssen. Wol die
einfachste Veranschaulichung des Achtzells entnehme ich einem Modelle
Herrn Victor Schlegel's — Modell Nr. 2
der 15. Serie (Projektionsmodelle der vier
ersten regelmässigen vierdimensionalen Kör-
per) aus der hübschen Sammlung von
Modellen für den höheren mathematischen
Unterricht, welche in L. Brill's Verlage
in Darmstadt erschienen. Das Gebilde ist
in des ersteren Abhandlung: „Theorie der
homogen zusammengesetzten Raumgebilde“
in den Nova acta der Ksl. Leop.-Carol.
Deutschen Akademie der Naturforscher,
Bd. 44, p. 343 ‥ 457, angeführt p. 434 —
auch als Stringham's reguläres „Oktae-
droid“ (cf. American Journal of Math.
Vol. 3, p. 1 ‥ 14).

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 45.

Das Modell stellt eine centrische Projektion des Achtzells in unsern
Raum vor, analog derjenigen durch Fig. 45 dargestellten, bei der man

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[679/0699] Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford. einen Hälfte als die 12 rautenförmigen Seitenflächen des Granatoeders, zur andern Hälfte als die im Innern des Körpers liegenden Rauten, die auf zweien Gegenkanten einer vierkantigen Granatoederecke stehen und dessen Mittelpunkt 8 oder 9 zur vierten Ecke haben. Und ganz deutlich wird man nun allemal die beiden als Rhomboeder projizirten Würfel erblicken, die auf irgend einer von den vorerwähnten 24 Rauten als auf einer gemeinsamen Grundfläche stehen. In der Regelmässigkeit der vorstehenden Figur prägt sich mit der Umstand aus, dass die 16 Ecken des regulären Oktokubs auf dem vier- dimensionalen Analogon einer Kugelfläche, auf einer „Vierer-Sphäre“ liegen müssen. Würde die Seite des Quadrats oder Kante des Würfels und Oktokubs zur Längeneinheit genommen, so würde nebenbei gesagt der Radius dieser vierdimensionalen Hyper-Sphäre leicht als = [FORMEL] = 1 sich berechnen, gleichwie der Radius der durch die Ecken eines Würfels gelegten (drei- dimensionalen) Kugel = [FORMEL], der des dem Quadrat umschriebenen Kreises = [FORMEL] und der des „eindimensionalen Hypo-Kreises“, gelegt durch die Ecken des Zweiecks (der Strecke 1), = [FORMEL] = [FORMEL] ist. Die dem Granatoeder umschreibbaren Kugeln, welche nämlich durch die Ecken von einerlei Art desselben hindurchgehen, sind natürlich von kleinerem Halbmesser, als dem vorerwähnten 1 der Hyper-Sphäre, und zwar wären ihre Radien unschwer zu finden — in Anbetracht, dass (nach einer Be- merkung von Hertz) gleichwie in Fig. 43 die Quadratdiagonalen 23, 47, etc. und die Dreiecke 235, 476) so in der räumlichen Figur zu Fig. 44 die Würfeldiagonalflächen 4, 6, 16; 4, 6, 7, etc. sowie die Tetraeder 1, 10, 11, 13 und 4, 6, 7, 16 sich in natürlicher Grösse präsentiren müssen. Wol die einfachste Veranschaulichung des Achtzells entnehme ich einem Modelle Herrn Victor Schlegel's — Modell Nr. 2 der 15. Serie (Projektionsmodelle der vier ersten regelmässigen vierdimensionalen Kör- per) aus der hübschen Sammlung von Modellen für den höheren mathematischen Unterricht, welche in L. Brill's Verlage in Darmstadt erschienen. Das Gebilde ist in des ersteren Abhandlung: „Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde“ in den Nova acta der Ksl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher, Bd. 44, p. 343 ‥ 457, angeführt p. 434 — auch als Stringham's reguläres „Oktae- droid“ (cf. American Journal of Math. Vol. 3, p. 1 ‥ 14). [Abbildung] [Abbildung Fig. 45.] Das Modell stellt eine centrische Projektion des Achtzells in unsern Raum vor, analog derjenigen durch Fig. 45 dargestellten, bei der man

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 679. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/699>, abgerufen am 25.11.2024.