Sind aber n unabhängig beliebige Symbole als Bestimmungselemente einer Gruppe gegeben, so muss dieselbe aus 22n Elementen bestehen.
Die Ermittelung ihrer Elementenzahl ist sonach eine leichteste Aufgabe.
Analog Jevons9 p. 221, 10 und8 p. 137 ... 143 lässt dies sich in der That unschwer wie folgt beweisen.
Jedes Element der Gruppe ist eine Funktion lediglich der n Be- stimmungselemente, und enthält die Gruppe alle Funktionen, welche durch die Operationen des identischen Kalkuls aus diesen aufgebaut werden können.
Denkt man sich jedes Element gemäss § 19 nach den n Bestim- mungselementen als den Argumenten "entwickelt", so enthält diese Entwickelung, vollständig angeschrieben, 2n Glieder (vgl. ibidem). Jeder von den 2n Konstituenten der Entwickelung kann zum Koeffizienten nur entweder 0 oder 1 haben, weil laut Voraussetzung noch andere Buch- staben als die der Argumente nicht vorkommen, und 0 und 1 die einzigen speziellen Gebietsymbole des identischen Kalkuls waren. Je- nachdem wird der betreffende Konstituent als Glied in der Entwickelung fehlen oder ganz in derselben vertreten sein. Darnach haben wir aber:
[Formel 1]
verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizientenstellen mit Nullen oder Einsern zu besetzen, und ebensoviel verschiedene "Ausdrücke", aufgebaut aus den n Argumenten, kann es nur, ebensoviele muss es auch geben.
Die ermittelte Zahl, nur um 1 vermindert, muss auch zugleich die Anzahl sein der inhaltlich verschiedenen (einander nicht äquiva- lenten) Aussagen, welche von der auf simultane Subsumtionen und Gleichungen beschränkten Logik abgegeben werden können in Bezug auf n Gebiete oder Klassen.
Denn da die Aussage eine Subsumtion oder eine Gleichung sein soll (zu welcher ja auch ein System von simultanen Propositionen ebendieser Art stets sich vereinigen lässt), so kann sie als Gleichung mit der rechten Seite 0 geschrieben werden. Das Polynom, die linke Seite dieser Gleichung kann aber als eine Funktion der n gegebenen Klassen, nur einer von den obigen 22n Ausdrücken sein, und somit gibt es auch anscheinend genau so viel verschiedene Aussagen. Von diesen Aussagen läuft aber eine auf: 1 = 0 hinaus, diejenige nämlich, bei der links alle Koeffizienten als Einser angesetzt sind, das Polynom also
Anhang 6.
Sind aber n unabhängig beliebige Symbole als Bestimmungselemente einer Gruppe gegeben, so muss dieselbe aus 22n Elementen bestehen.
Die Ermittelung ihrer Elementenzahl ist sonach eine leichteste Aufgabe.
Analog Jevons9 p. 221, 10 und8 p. 137 … 143 lässt dies sich in der That unschwer wie folgt beweisen.
Jedes Element der Gruppe ist eine Funktion lediglich der n Be- stimmungselemente, und enthält die Gruppe alle Funktionen, welche durch die Operationen des identischen Kalkuls aus diesen aufgebaut werden können.
Denkt man sich jedes Element gemäss § 19 nach den n Bestim- mungselementen als den Argumenten „entwickelt“, so enthält diese Entwickelung, vollständig angeschrieben, 2n Glieder (vgl. ibidem). Jeder von den 2n Konstituenten der Entwickelung kann zum Koeffizienten nur entweder 0 oder 1 haben, weil laut Voraussetzung noch andere Buch- staben als die der Argumente nicht vorkommen, und 0 und 1 die einzigen speziellen Gebietsymbole des identischen Kalkuls waren. Je- nachdem wird der betreffende Konstituent als Glied in der Entwickelung fehlen oder ganz in derselben vertreten sein. Darnach haben wir aber:
[Formel 1]
verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizientenstellen mit Nullen oder Einsern zu besetzen, und ebensoviel verschiedene „Ausdrücke“, aufgebaut aus den n Argumenten, kann es nur, ebensoviele muss es auch geben.
Die ermittelte Zahl, nur um 1 vermindert, muss auch zugleich die Anzahl sein der inhaltlich verschiedenen (einander nicht äquiva- lenten) Aussagen, welche von der auf simultane Subsumtionen und Gleichungen beschränkten Logik abgegeben werden können in Bezug auf n Gebiete oder Klassen.
Denn da die Aussage eine Subsumtion oder eine Gleichung sein soll (zu welcher ja auch ein System von simultanen Propositionen ebendieser Art stets sich vereinigen lässt), so kann sie als Gleichung mit der rechten Seite 0 geschrieben werden. Das Polynom, die linke Seite dieser Gleichung kann aber als eine Funktion der n gegebenen Klassen, nur einer von den obigen 22n Ausdrücken sein, und somit gibt es auch anscheinend genau so viel verschiedene Aussagen. Von diesen Aussagen läuft aber eine auf: 1 = 0 hinaus, diejenige nämlich, bei der links alle Koeffizienten als Einser angesetzt sind, das Polynom also
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Anhang 6.
Sind aber n unabhängig beliebige Symbole als Bestimmungselemente
einer Gruppe gegeben, so muss dieselbe aus 22n Elementen bestehen.
Die Ermittelung ihrer Elementenzahl ist sonach eine leichteste
Aufgabe.
Analog Jevons9 p. 221, 10 und8 p. 137 … 143 lässt dies sich in der
That unschwer wie folgt beweisen.
Jedes Element der Gruppe ist eine Funktion lediglich der n Be-
stimmungselemente, und enthält die Gruppe alle Funktionen, welche
durch die Operationen des identischen Kalkuls aus diesen aufgebaut
werden können.
Denkt man sich jedes Element gemäss § 19 nach den n Bestim-
mungselementen als den Argumenten „entwickelt“, so enthält diese
Entwickelung, vollständig angeschrieben, 2n Glieder (vgl. ibidem). Jeder
von den 2n Konstituenten der Entwickelung kann zum Koeffizienten nur
entweder 0 oder 1 haben, weil laut Voraussetzung noch andere Buch-
staben als die der Argumente nicht vorkommen, und 0 und 1 die
einzigen speziellen Gebietsymbole des identischen Kalkuls waren. Je-
nachdem wird der betreffende Konstituent als Glied in der Entwickelung
fehlen oder ganz in derselben vertreten sein. Darnach haben wir aber:
[FORMEL] verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizientenstellen mit Nullen oder
Einsern zu besetzen, und ebensoviel verschiedene „Ausdrücke“, aufgebaut
aus den n Argumenten, kann es nur, ebensoviele muss es auch geben.
Die ermittelte Zahl, nur um 1 vermindert, muss auch zugleich
die Anzahl sein der inhaltlich verschiedenen (einander nicht äquiva-
lenten) Aussagen, welche von der auf simultane Subsumtionen und
Gleichungen beschränkten Logik abgegeben werden können in Bezug
auf n Gebiete oder Klassen.
Denn da die Aussage eine Subsumtion oder eine Gleichung sein
soll (zu welcher ja auch ein System von simultanen Propositionen
ebendieser Art stets sich vereinigen lässt), so kann sie als Gleichung
mit der rechten Seite 0 geschrieben werden. Das Polynom, die linke
Seite dieser Gleichung kann aber als eine Funktion der n gegebenen
Klassen, nur einer von den obigen 22n Ausdrücken sein, und somit gibt
es auch anscheinend genau so viel verschiedene Aussagen. Von diesen
Aussagen läuft aber eine auf: 1 = 0 hinaus, diejenige nämlich, bei der
links alle Koeffizienten als Einser angesetzt sind, das Polynom also
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 658. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/678>, abgerufen am 23.11.2024.
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