Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Ausdehnung des Produkt-Begriffs auf beliebig viele Terme.

x_r = s_r t_r
braucht nach dem Gesagten nicht weiter angedeutet oder mittelst
fernerer innerhalb derselben anzubringender Klammern angegeben, vor-
geschrieben zu werden, da diese Teilprodukte jedenfalls weniger als
n (höchstens n — 1) Faktoren enthalten, während sogar s₁ = a₁ und
t_{n — 1} = a_n — wie man sich auszudrücken pflegt — „nur aus einem
Faktor bestehen“, eigentlich nämlich gar nicht Produkte sind.

Zu zeigen ist, dass die obigen n — 1 Ausdrücke x₁, x₂ … x_{n — 1}
einander gleich sein müssen, und dies wird nach Th. 4) Zusatz geleistet
sein, wenn wir darthun, dass allgemein (nämlich für jedes der gedachten
γ bis zum letzten hin)
x_r = x_{r + 1}
sein muss, womit ja x₁ = x₂, x₂ = x₃, … x_{n — 2} = x_{n — 1} dann erkannt
sein wird.

Nun ist zufolge der den Symbolen t_r und t_{r + 1} beigelegten Bedeutung
(kraft der bei solchen Teilprodukten beliebig anbringbaren Klammern):
t_r = a_{r + 1} t_{r + 1}
und kann nach Th. 16_×) dies in x_r = s_r t_r eingesetzt werden. Darnach
wird sich dann x_r aus drei Faktoren zusammensetzen und kraft Th. 13_×)
sich ergeben:
x_r = s_r (a_{r + 1} t_{r + 1}) = (s_r a_{r + 1}) t_{r + 1}.
Es ist aber zufolge der den Symbolen s_r und s_{r + 1} zukommenden Be-
deutung auch (wegen der Unterdrückbarkeit von Klammern in denselben):
s_r a_{r + 1} = s_{r + 1}
und kann dies wiederum nach 16_×) in das letzte Ergebniss eingesetzt
werden. Dadurch entsteht:
x_r = s_{r + 1} t_{r + 1} = x_{r + 1}
was zu beweisen war.

Nun war bei drei Faktoren die Klammerstellung ohne Einfluss
auf den Wert des Ergebnisses; nach dem eben Bewiesenen muss sie
es auch für 3 + 1 oder 4 Faktoren sein; ist sie es sonach für viere,
so muss sie es auch sein für 4 + 1 oder 5 Faktoren und so weiter.
Es kann in dieser Weise ohne Ende fort geschlossen werden, und
jedenfalls auch so lange, bis man irgend eine vorgedachte Faktoren-
zahl erreicht hat (Schluss von n — 1 auf n resp. n auf n + 1, oder
Bernoulli'scher „Schluss der vollständigen Induktion“).

Gilt also nur das spezielle Assoziationsgesetz (für drei Faktoren),
so gilt auch stets das allgemeine Assoziationsgesetz (für beliebig viele
Faktoren). Letzteres lautet:

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