Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2a und x''' a
ax2 und ax'''
dass
x2 + x''' a
ax2x'''
und analog auch:
x2 + x''' b
bx2x'''
ist. Nennen wir nunmehr
x2 + x''' = x3
x2x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x "fügen", sogar das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' x3
x3x'''
während a) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches a) erfüllt, ohne auch die Sub- sumtion: b3)
xx3
x3x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er- füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x -- es heisse x''' -- welches sich bei der Umkehrung dem x3 "nicht fügt", so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4
x3x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x "fügt".
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich "nicht fügenden" und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab- leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen "fügen"; man kann das sich nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse ein c existiren, für das sich jedes x "fügt". In der That sieht man sich vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un- begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc. Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. --
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6x):
aa + b, ba + b
a ba, a bb
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen a) erfüllende x auch sicher:
xa + b
a bx,
Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2 ⋹ a und x''' ⋹ a
a ⋹ x2 und a ⋹ x'''
dass
x2 + x''' ⋹ a
a ⋹ x2x'''
und analog auch:
x2 + x''' ⋹ b
b ⋹ x2x'''
ist. Nennen wir nunmehr
x2 + x''' = x3
x2x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x „fügen“, sogar das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' ⋹ x3
x3 ⋹ x'''
während α) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches α) erfüllt, ohne auch die Sub- sumtion: β3)
x ⋹ x3
x3 ⋹ x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er- füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x — es heisse x''' — welches sich bei der Umkehrung dem x3 „nicht fügt“, so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4
x3x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x „fügt“.
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich „nicht fügenden“ und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab- leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen „fügen“; man kann das sich nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse ein c existiren, für das sich jedes x „fügt“. In der That sieht man sich vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un- begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc. Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. —
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6×):
a ⋹ a + b, b ⋹ a + b
a b ⋹ a, a b ⋹ b
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen α) erfüllende x auch sicher:
x ⋹ a + b
a b ⋹ x,
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Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
Dann folgt nach Def. (3) aus:
x2 ⋹ a und x''' ⋹ a a ⋹ x2 und a ⋹ x'''
dass
x2 + x''' ⋹ a a ⋹ x2 x'''
und analog auch:
x2 + x''' ⋹ b b ⋹ x2 x'''
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x2 + x''' = x3 x2 x''' = x3,
so ist x3 ein solches Gebiet, welchem sich alle bisherigen x „fügen“, sogar
das letzte: x''', da wir nach Th. 6) haben:
x''' ⋹ x3 x3 ⋹ x'''
während α) ja ohnehin von diesem x''' erfüllt wird.
Gibt es jetzt kein x mehr, welches α) erfüllt, ohne auch die Sub-
sumtion:
β3) x ⋹ x3 x3 ⋹ x
zu erfüllen, so ist: c = x3 als ein die Anforderungen der Def. (5) er-
füllendes c gefunden.
Gibt es aber noch ein x — es heisse x''' — welches sich bei der
Umkehrung dem x3 „nicht fügt“, so kann man, ebenso weiter schliessend, ein:
x3 + x'''' = x4 x3 x'''' = x4
konstruiren, für welches sich x'''' samt allen früheren Gebieten x „fügt“.
In dieser Weise fortfahrend kann man aus jedem angebbaren sich
„nicht fügenden“ und dem zuletzt gewonnenen x allemal ein neues x ab-
leiten, bezüglich dessen sich alle bisherigen „fügen“; man kann das sich
nicht fügende sozusagen endgültig beseitigen.
Man könnte sich hienach zu dem Schluss berechtigt glauben, es müsse
ein c existiren, für das sich jedes x „fügt“. In der That sieht man sich
vor die Alternative gestellt, entweder diese Existenz zuzugeben, oder un-
begrenzt in der angegebenen Weise fortzuschliessen.
Jener Schluss wäre gleichwol nicht stichhaltig. Beispielsweise können
wir dies aus dem bekannten Paradoxon von Achilles mit der Schildkröte
lernen, wo die Alternative vorliegt, entweder zuzugeben, dass jener diese
nicht einholen könne, oder aber auf den zehntel, hundertel, tausendtel etc.
Schritt, der noch fehlt, ohne Ende fortzuschliessen. Die Abneigung vor
letzterem ist kein zwingender Grund, sich für ersteres zu entscheiden. —
Dass es Gebiete c gibt, die den Forderungen der Def. (5) genügen ist
stichhaltig ja schon in § 6 bewiesen.
Man könnte es nebenher auch so einsehen. Da nach Th. 6+) resp. 6×):
a ⋹ a + b, b ⋹ a + b a b ⋹ a, a b ⋹ b
sein muss, so ist für jedes die Bedingungen α) erfüllende x auch sicher:
x ⋹ a + b a b ⋹ x,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 597. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/617>, abgerufen am 25.11.2024.
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