Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Anhang 1.

das die Bedingungen α) zutreffen, auch die Subsumtion β¹) besteht, dann
ist in Gestalt von
c = x¹
bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.

Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x — ein
solches heisse x'' — derart, dass die Voraussetzung α) zutrifft, d. h. dass
wir haben:

x'' ⋹ a, x'' ⋹ b

a ⋹ x'', b ⋹ x''

ohne dass doch für dieses x auch β¹) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir
hätten:

x'' ⋹ x'

x' ⋹ x''.

In diesem Falle kann nach Def.

(3_+) aus x1 ⋹ a und x'' ⋹ a

(3_×) aus a ⋹ x1 und a ⋹ x''

gefolgert werden, dass

x1 + x'' ⋹ a

a ⋹ x1 x''

sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:

x1 + x'' ⋹ b

b ⋹ x1 x''.

Nennen wir aber

x1 + x'' = x2

x1 x'' = x2,

so ist dieses Gebiet x² jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um-
kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x¹
keine. Wir haben nämlich nach Th.

6_+) x1 ⋹ x1 + x'', also x1 ⋹ x2

6_×) x1 x'', ⋹ x1, also x2 = x1

desgleichen:

x'' ⋹ x2

x2 ⋹ x''.

Dieses x² ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende
Wert des c selber, es ist:
c = x²,
wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen α)
genügte, ohne mit x² die Beziehungen einzugehen:
β²)

x ⋹ x2

x2 ⋹ x.

Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x² — will ich kurz
sagen — „nicht fügen“, d. h. für welche zwar die Voraussetzungen α) aber
nicht die Subsumtion β) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.

Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:

x''' ⋹ a, x''' ⋹ b

a ⋹ x''', b ⋹ x'''

aber doch nicht

x''' ⋹ x2

x2 ⋹ x'''.