aus allen in dem Ausdruck vorkommenden Buchstabensymbolen und deren Negationen, sodass darin jeder Buchstabe nur einmal (negirt oder aber un- negirt) vertreten ist.
Gemäss der fundamentalen Formel des Th. 6): a bbb + c untersuche man, ob
das gebildete Produkt ein Subjekt ist von jedem Faktor
die Summe ein Prädikat ist von jedem Gliede
des gegebenen Ausdruckes. Trifft dies zu, so ist es, resp. sie ein
letzter Summand
Primfaktor
ebendieses Ausdruckes, andernfalls nicht.
Man fahre in dieser Weise fort, bis so viele letzte Summanden resp. Faktoren gefunden sind, als der Ausdruck besitzen muss.
Um diese Zahl zu finden (unter obenerwähnter Voraussetzung, die ja schon nach § 14 sich immer vorgängig erfüllen lassen würde), gibt Peirce ohne Herleitung den arithmetischen Ausdruck an: 2m + n -- m p -- p, wo m die Gesamtanzahl der verschiedenen Buchstabensymbole bedeutet, die im Ausdruck vorkommen, falls ein Symbol und seine Negation nicht als verschieden angesehen werden, wo ferner n die Gesamtzahl der im Aus- druck als Operationsglieder überhaupt auftretenden Symbole vorstellt, mögen diese verschieden sein oder nicht (nach Berücksichtigung übrigens der Tau- tologie- und Absorptionsgesetze behufs einfachstmöglicher Schreibung des Ausdrucks), endlich p die Anzahl der
Faktoren
Glieder
des Ausdrucks ist (mit dem gleichen Vorbehalte wie soeben, ohne wel- chen sonst ja die Zahlen n und p beliebig hoch angesetzt werden könnten).
Es sei hienach z. B. der Ausdruck x + y z "dual zu entwickeln" ["dual", das soll heissen: in die Form eines Produktes, gemäss Th. 44x) -- sinte- mal die "Entwickelung" schlechtweg, in unsrer Terminologie sich stets be- zieht auf die Zerlegung in eine Summe gemäss Th. 44+)]. Nach Peirce ist zu bemerken, dass hier m = 3, n = 3, p = 2 ist, womit sich die An- zahl der gesuchten Faktoren (arithmetisch) berechnet zu 23 + 3 -- 3 x 2 -- 2 = 8 + 3 -- 6 -- 2 = 3. Man sollte nun alle acht Ausdrücke, welche durch additive Vereinigung dreier von den sechs Symbolen x, y, z, x1, y1, z1 mit verschiedenen Buch- staben gebildet werden können eigentlich durchprobiren in folgender Weise. Da xx + y + z und y zx + y + z,
Vierzehnte Vorlesung.
Produkt (von Summen)
eine Summe (von Produkten)
gewesen, das folgende Verfahren. Man bilde
jedes denkbare Produkt
jede Summe
aus allen in dem Ausdruck vorkommenden Buchstabensymbolen und deren Negationen, sodass darin jeder Buchstabe nur einmal (negirt oder aber un- negirt) vertreten ist.
Gemäss der fundamentalen Formel des Th. 6): a b ⋹ b ⋹ b + c untersuche man, ob
das gebildete Produkt ein Subjekt ist von jedem Faktor
die Summe ein Prädikat ist von jedem Gliede
des gegebenen Ausdruckes. Trifft dies zu, so ist es, resp. sie ein
letzter Summand
Primfaktor
ebendieses Ausdruckes, andernfalls nicht.
Man fahre in dieser Weise fort, bis so viele letzte Summanden resp. Faktoren gefunden sind, als der Ausdruck besitzen muss.
Um diese Zahl zu finden (unter obenerwähnter Voraussetzung, die ja schon nach § 14 sich immer vorgängig erfüllen lassen würde), gibt Peirce ohne Herleitung den arithmetischen Ausdruck an: 2m + n — m p — p, wo m die Gesamtanzahl der verschiedenen Buchstabensymbole bedeutet, die im Ausdruck vorkommen, falls ein Symbol und seine Negation nicht als verschieden angesehen werden, wo ferner n die Gesamtzahl der im Aus- druck als Operationsglieder überhaupt auftretenden Symbole vorstellt, mögen diese verschieden sein oder nicht (nach Berücksichtigung übrigens der Tau- tologie- und Absorptionsgesetze behufs einfachstmöglicher Schreibung des Ausdrucks), endlich p die Anzahl der
Faktoren
Glieder
des Ausdrucks ist (mit dem gleichen Vorbehalte wie soeben, ohne wel- chen sonst ja die Zahlen n und p beliebig hoch angesetzt werden könnten).
Es sei hienach z. B. der Ausdruck x + y z „dual zu entwickeln“ [„dual“, das soll heissen: in die Form eines Produktes, gemäss Th. 44×) — sinte- mal die „Entwickelung“ schlechtweg, in unsrer Terminologie sich stets be- zieht auf die Zerlegung in eine Summe gemäss Th. 44+)]. Nach Peirce ist zu bemerken, dass hier m = 3, n = 3, p = 2 ist, womit sich die An- zahl der gesuchten Faktoren (arithmetisch) berechnet zu 23 + 3 — 3 × 2 — 2 = 8 + 3 — 6 — 2 = 3. Man sollte nun alle acht Ausdrücke, welche durch additive Vereinigung dreier von den sechs Symbolen x, y, z, x1, y1, z1 mit verschiedenen Buch- staben gebildet werden können eigentlich durchprobiren in folgender Weise. Da x ⋹ x + y + z und y z ⋹ x + y + z,
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[582/0602]
Vierzehnte Vorlesung.
Produkt (von Summen) eine Summe (von Produkten)
gewesen, das folgende Verfahren. Man bilde
jedes denkbare Produkt jede Summe
aus allen in dem Ausdruck vorkommenden Buchstabensymbolen und deren
Negationen, sodass darin jeder Buchstabe nur einmal (negirt oder aber un-
negirt) vertreten ist.
Gemäss der fundamentalen Formel des Th. 6):
a b ⋹ b ⋹ b + c
untersuche man, ob
das gebildete Produkt ein Subjekt ist
von jedem Faktor die Summe ein Prädikat ist von
jedem Gliede
des gegebenen Ausdruckes. Trifft dies zu, so ist es, resp. sie ein
letzter Summand Primfaktor
ebendieses Ausdruckes, andernfalls nicht.
Man fahre in dieser Weise fort, bis so viele letzte Summanden resp.
Faktoren gefunden sind, als der Ausdruck besitzen muss.
Um diese Zahl zu finden (unter obenerwähnter Voraussetzung, die ja
schon nach § 14 sich immer vorgängig erfüllen lassen würde), gibt Peirce
ohne Herleitung den arithmetischen Ausdruck an:
2m + n — m p — p,
wo m die Gesamtanzahl der verschiedenen Buchstabensymbole bedeutet, die
im Ausdruck vorkommen, falls ein Symbol und seine Negation nicht als
verschieden angesehen werden, wo ferner n die Gesamtzahl der im Aus-
druck als Operationsglieder überhaupt auftretenden Symbole vorstellt, mögen
diese verschieden sein oder nicht (nach Berücksichtigung übrigens der Tau-
tologie- und Absorptionsgesetze behufs einfachstmöglicher Schreibung des
Ausdrucks), endlich p die Anzahl der
Faktoren Glieder
des Ausdrucks ist (mit dem gleichen Vorbehalte wie soeben, ohne wel-
chen sonst ja die Zahlen n und p beliebig hoch angesetzt werden könnten).
Es sei hienach z. B. der Ausdruck x + y z „dual zu entwickeln“ [„dual“,
das soll heissen: in die Form eines Produktes, gemäss Th. 44×) — sinte-
mal die „Entwickelung“ schlechtweg, in unsrer Terminologie sich stets be-
zieht auf die Zerlegung in eine Summe gemäss Th. 44+)]. Nach Peirce
ist zu bemerken, dass hier m = 3, n = 3, p = 2 ist, womit sich die An-
zahl der gesuchten Faktoren (arithmetisch) berechnet zu
23 + 3 — 3 × 2 — 2 = 8 + 3 — 6 — 2 = 3.
Man sollte nun alle acht Ausdrücke, welche durch additive Vereinigung
dreier von den sechs Symbolen x, y, z, x1, y1, z1 mit verschiedenen Buch-
staben gebildet werden können eigentlich durchprobiren in folgender
Weise. Da
x ⋹ x + y + z und y z ⋹ x + y + z,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 582. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/602>, abgerufen am 28.11.2024.
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