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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.

29. Aufgabe (Elizabeth Blackwood, Math. Quest. Vol. 35,
1881, p. 24 u. 25). Bekannt sei, dass jedes von den zusammengesetzten
Ereignissen a y z, b z x, c x y von mindestens zweien der Ereignisse d, e, f
begleitet (resp. gefolgt) ist und dass jedes von den zusammengesetzten
"Nichtvorkommnissen" d1 y1 z1, e1 z1 x1, f1 x1 y1 das Nichteintreffen von min-
destens zweien der Ereignisse a, b, c bedingt. Welche Abhängigkeit
folgt daraus zwischen dem Eintreffen oder Nichteintreffen der Ereig-
nisse a, b, c, d, e, f ohne Rücksicht auf die x, y, z?

Auflösung (cf. McColl, Grove, und andere).

Die Prämissen sind:
a y z + b z x + c x y e f + f d + d e, d1 y1 z1 + e1 z1 x1 + f1 x1 y1 b1 c1 + c1 a1 + a1 b1.
Indem man das Polynom ihrer vereinigten Gleichung nach x, y, z ent-
wickelte, und das Produkt der Koeffizienten = 0 setzte, ergäbe sich un-
schwer die gesuchte Resultante als: a b c d1 e1 f1 = 0.

Da dieses systematische Verfahren immerhin einige Schreiberei erfor-
derte, wollen wir die Aufgabe durch einen Kunstgriff lösen, der noch ein-
facher ist als der von McColl etc. ("by mere inspection") angewendete.
Wir zerlegen jede der beiden Prämissensubsumtionen, deren Subjekt ja als
Trinom erscheint gemäss Def. (3+) in drei einzelne Subsumtionen, und
werfen in einer jeden von diesen den Koeffizienten von links gemäss
Peirce's Th. 41) nach rechts; so entsteht:
y z e f + f d + d e + a1, y1 z1 b1 c1 + c1 a1 + a1 b1 + d,
z x " " " + b1, z1 x1 " " " + e,
x y " " " + c1, x1 y1 " " " + f.
Addiren wir überschiebend jetzt diese sechs Subsumtionen und beachten,
dass y1 z1 + z1 x1 + x1 y1 gerade die Negation von y z + z x + x y ist, so er-
halten wir:
1 a1 + b1 + c1 + d + e + f,
oder:
a b c d + e + f,
was zu finden gewesen.

30. Aufgabe (Macfarlane, Math. Questions, Vol. 44, p. 48 .. 50).

Aus den mit Worten gegebenen Data:
a x + b1 y = c, d x1 (e + y) = f
sollen die Klassen x, y als Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt
werden.

Die Auflösung soll hier mit allen Zwischenrechnungen gegeben wer-
den. Aus der vereinigten Gleichung der Data:
(a x + b1 y) c1 + (a1 + x1) (b + y1) c + d f1 x1 (e + y) + (d1 + x + e1 y1) f = 0
heben wir die Koeffizienten von y und y1 hervor, und bilden ihr Produkt:

§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.

29. Aufgabe (Elizabeth Blackwood, Math. Quest. Vol. 35,
1881, p. 24 u. 25). Bekannt sei, dass jedes von den zusammengesetzten
Ereignissen a y z, b z x, c x y von mindestens zweien der Ereignisse d, e, f
begleitet (resp. gefolgt) ist und dass jedes von den zusammengesetzten
„Nichtvorkommnissen“ d1 y1 z1, e1 z1 x1, f1 x1 y1 das Nichteintreffen von min-
destens zweien der Ereignisse a, b, c bedingt. Welche Abhängigkeit
folgt daraus zwischen dem Eintreffen oder Nichteintreffen der Ereig-
nisse a, b, c, d, e, f ohne Rücksicht auf die x, y, z?

Auflösung (cf. McColl, Grove, und andere).

Die Prämissen sind:
a y z + b z x + c x y ⋹ e f + f d + d e, d1 y1 z1 + e1 z1 x1 + f1 x1 y1 ⋹ b1 c1 + c1 a1 + a1 b1.
Indem man das Polynom ihrer vereinigten Gleichung nach x, y, z ent-
wickelte, und das Produkt der Koeffizienten = 0 setzte, ergäbe sich un-
schwer die gesuchte Resultante als: a b c d1 e1 f1 = 0.

Da dieses systematische Verfahren immerhin einige Schreiberei erfor-
derte, wollen wir die Aufgabe durch einen Kunstgriff lösen, der noch ein-
facher ist als der von McColl etc. („by mere inspection“) angewendete.
Wir zerlegen jede der beiden Prämissensubsumtionen, deren Subjekt ja als
Trinom erscheint gemäss Def. (3+) in drei einzelne Subsumtionen, und
werfen in einer jeden von diesen den Koeffizienten von links gemäss
Peirce's Th. 41) nach rechts; so entsteht:
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halten wir:
1 ⋹ a1 + b1 + c1 + d + e + f,
oder:
a b c ⋹ d + e + f,
was zu finden gewesen.

30. Aufgabe (Macfarlane, Math. Questions, Vol. 44, p. 48 ‥ 50).

Aus den mit Worten gegebenen Data:
a x + b1 y = c, d x1 (e + y) = f
sollen die Klassen x, y als Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt
werden.

Die Auflösung soll hier mit allen Zwischenrechnungen gegeben wer-
den. Aus der vereinigten Gleichung der Data:
(a x + b1 y) c1 + (a1 + x1) (b + y1) c + d f1 x1 (e + y) + (d1 + x + e1 y1) f = 0
heben wir die Koeffizienten von y und y1 hervor, und bilden ihr Produkt:

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[553/0573] § 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. 29. Aufgabe (Elizabeth Blackwood, Math. Quest. Vol. 35, 1881, p. 24 u. 25). Bekannt sei, dass jedes von den zusammengesetzten Ereignissen a y z, b z x, c x y von mindestens zweien der Ereignisse d, e, f begleitet (resp. gefolgt) ist und dass jedes von den zusammengesetzten „Nichtvorkommnissen“ d1 y1 z1, e1 z1 x1, f1 x1 y1 das Nichteintreffen von min- destens zweien der Ereignisse a, b, c bedingt. Welche Abhängigkeit folgt daraus zwischen dem Eintreffen oder Nichteintreffen der Ereig- nisse a, b, c, d, e, f ohne Rücksicht auf die x, y, z? Auflösung (cf. McColl, Grove, und andere). Die Prämissen sind: a y z + b z x + c x y ⋹ e f + f d + d e, d1 y1 z1 + e1 z1 x1 + f1 x1 y1 ⋹ b1 c1 + c1 a1 + a1 b1. Indem man das Polynom ihrer vereinigten Gleichung nach x, y, z ent- wickelte, und das Produkt der Koeffizienten = 0 setzte, ergäbe sich un- schwer die gesuchte Resultante als: a b c d1 e1 f1 = 0. Da dieses systematische Verfahren immerhin einige Schreiberei erfor- derte, wollen wir die Aufgabe durch einen Kunstgriff lösen, der noch ein- facher ist als der von McColl etc. („by mere inspection“) angewendete. Wir zerlegen jede der beiden Prämissensubsumtionen, deren Subjekt ja als Trinom erscheint gemäss Def. (3+) in drei einzelne Subsumtionen, und werfen in einer jeden von diesen den Koeffizienten von links gemäss Peirce's Th. 41) nach rechts; so entsteht: y z ⋹ e f + f d + d e + a1, y1 z1 ⋹ b1 c1 + c1 a1 + a1 b1 + d, z x ⋹ „ „ „ + b1, z1 x1 ⋹ „ „ „ + e, x y ⋹ „ „ „ + c1, x1 y1 ⋹ „ „ „ + f. Addiren wir überschiebend jetzt diese sechs Subsumtionen und beachten, dass y1 z1 + z1 x1 + x1 y1 gerade die Negation von y z + z x + x y ist, so er- halten wir: 1 ⋹ a1 + b1 + c1 + d + e + f, oder: a b c ⋹ d + e + f, was zu finden gewesen. 30. Aufgabe (Macfarlane, Math. Questions, Vol. 44, p. 48 ‥ 50). Aus den mit Worten gegebenen Data: a x + b1 y = c, d x1 (e + y) = f sollen die Klassen x, y als Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt werden. Die Auflösung soll hier mit allen Zwischenrechnungen gegeben wer- den. Aus der vereinigten Gleichung der Data: (a x + b1 y) c1 + (a1 + x1) (b + y1) c + d f1 x1 (e + y) + (d1 + x + e1 y1) f = 0 heben wir die Koeffizienten von y und y1 hervor, und bilden ihr Produkt:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 553. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/573>, abgerufen am 26.06.2024.