Gegeben: ab + c, bc + d, cd + a, da + b. Welche Bedingung muss mindestens hinzugefügt werden, damit a bd sei?
Auflösung. Die Forderung a b d1 = 0 gibt, nach allen vier Sym- bolen entwickelt: a b c d1 + a b c1d1 = 0.
In der vereinigten Gleichung der Prämissen: a b1c1 + b c1d1 + c d1a1 + d a1b1 = 0 ist aber das einzige Glied in welchem a b d1 als Faktor stecken kann, weil es von a1 sowol als b1 und d frei ist, das zweite, und dieses garan- tirt, dass a b c1d1 + a1b c1d1 = 0 ist. Demnach ist der zweite Teil der entwickelten Forderung bereits ohnehin erfüllt, und braucht nur mehr noch stipulirt zu werden, dass: a b c d1 = 0, das heisst a b cd sei. --
18. Aufgabe. Man eliminire und berechne x aus der Sub- sumtion: a x + b x1 + ca x + b x1 + g.
Auflösung. Homogen gemacht lautet dieselbe Prämisse: (a + c) x + (b + c) x1 (a + g) x + (b + g) x1, und wird dieselbe rechts auf 0 gebracht, indem man ihre linke Seite mit der Negation der rechten multiplizirt. Nach den Theoremen 38), 36) und 46) lässt sich dies unmittelbar hinschreiben in Gestalt von: (a + c) a1g1x + (b + c) b1g1x1 = 0, woraus nun als Resultante der Elimination von x folgt: (a b + c) a1b1g1 = 0, oder a b + ca + b + g, und als Auflösung: x = (b + c) b1g1 + u a1c1 (a + g); oder in Form einer Doppelsubsumtion beides vereinigt: (b + c) b1g1xa1c1 + a + g, oder auch: (a + c) a1g1x1b1c1 + b + g.
19. Aufgabe. Eliminire und berechne x aus der Gleichung: a x + b x1 + c = a x + b x1 + g.
Auflösung. Rechts auf 0 gebracht und homogen gemacht lautet die Gleichung:
Dreizehnte Vorlesung.
17. Aufgabe. Venn5 p. 14.
Gegeben: a ⋹ b + c, b ⋹ c + d, c ⋹ d + a, d ⋹ a + b. Welche Bedingung muss mindestens hinzugefügt werden, damit a b ⋹ d sei?
Auflösung. Die Forderung a b d1 = 0 gibt, nach allen vier Sym- bolen entwickelt: a b c d1 + a b c1d1 = 0.
In der vereinigten Gleichung der Prämissen: a b1c1 + b c1d1 + c d1a1 + d a1b1 = 0 ist aber das einzige Glied in welchem a b d1 als Faktor stecken kann, weil es von a1 sowol als b1 und d frei ist, das zweite, und dieses garan- tirt, dass a b c1d1 + a1b c1d1 = 0 ist. Demnach ist der zweite Teil der entwickelten Forderung bereits ohnehin erfüllt, und braucht nur mehr noch stipulirt zu werden, dass: a b c d1 = 0, das heisst a b c ⋹ d sei. —
18. Aufgabe. Man eliminire und berechne x aus der Sub- sumtion: a x + b x1 + c ⋹ α x + β x1 + γ.
Auflösung. Homogen gemacht lautet dieselbe Prämisse: (a + c) x + (b + c) x1 ⋹ (α + γ) x + (β + γ) x1, und wird dieselbe rechts auf 0 gebracht, indem man ihre linke Seite mit der Negation der rechten multiplizirt. Nach den Theoremen 38), 36) und 46) lässt sich dies unmittelbar hinschreiben in Gestalt von: (a + c) α1γ1x + (b + c) β1γ1x1 = 0, woraus nun als Resultante der Elimination von x folgt: (a b + c) α1β1γ1 = 0, oder a b + c ⋹ α + β + γ, und als Auflösung: x = (b + c) β1γ1 + u a1c1 (α + γ); oder in Form einer Doppelsubsumtion beides vereinigt: (b + c) β1γ1 ⋹ x ⋹ a1c1 + α + γ, oder auch: (a + c) α1γ1 ⋹ x1 ⋹ b1c1 + β + γ.
19. Aufgabe. Eliminire und berechne x aus der Gleichung: a x + b x1 + c = α x + β x1 + γ.
Auflösung. Rechts auf 0 gebracht und homogen gemacht lautet die Gleichung:
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[542/0562]
Dreizehnte Vorlesung.
17. Aufgabe. Venn5 p. 14.
Gegeben:
a ⋹ b + c, b ⋹ c + d, c ⋹ d + a, d ⋹ a + b.
Welche Bedingung muss mindestens hinzugefügt werden, damit
a b ⋹ d sei?
Auflösung. Die Forderung a b d1 = 0 gibt, nach allen vier Sym-
bolen entwickelt:
a b c d1 + a b c1 d1 = 0.
In der vereinigten Gleichung der Prämissen:
a b1 c1 + b c1 d1 + c d1 a1 + d a1 b1 = 0
ist aber das einzige Glied in welchem a b d1 als Faktor stecken kann,
weil es von a1 sowol als b1 und d frei ist, das zweite, und dieses garan-
tirt, dass a b c1 d1 + a1 b c1 d1 = 0 ist. Demnach ist der zweite Teil der
entwickelten Forderung bereits ohnehin erfüllt, und braucht nur mehr
noch stipulirt zu werden, dass: a b c d1 = 0, das heisst a b c ⋹ d sei. —
18. Aufgabe. Man eliminire und berechne x aus der Sub-
sumtion:
a x + b x1 + c ⋹ α x + β x1 + γ.
Auflösung. Homogen gemacht lautet dieselbe Prämisse:
(a + c) x + (b + c) x1 ⋹ (α + γ) x + (β + γ) x1,
und wird dieselbe rechts auf 0 gebracht, indem man ihre linke Seite
mit der Negation der rechten multiplizirt. Nach den Theoremen 38),
36) und 46) lässt sich dies unmittelbar hinschreiben in Gestalt von:
(a + c) α1 γ1 x + (b + c) β1 γ1 x1 = 0,
woraus nun als Resultante der Elimination von x folgt:
(a b + c) α1 β1 γ1 = 0, oder a b + c ⋹ α + β + γ,
und als Auflösung:
x = (b + c) β1 γ1 + u a1 c1 (α + γ);
oder in Form einer Doppelsubsumtion beides vereinigt:
(b + c) β1 γ1 ⋹ x ⋹ a1 c1 + α + γ,
oder auch:
(a + c) α1 γ1 ⋹ x1 ⋹ b1 c1 + β + γ.
19. Aufgabe. Eliminire und berechne x aus der Gleichung:
a x + b x1 + c = α x + β x1 + γ.
Auflösung. Rechts auf 0 gebracht und homogen gemacht lautet
die Gleichung:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 542. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/562>, abgerufen am 22.07.2024.
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