Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Dreizehnte Vorlesung.

17. Aufgabe. Venn⁵ p. 14.

Gegeben:
a ⋹ b + c, b ⋹ c + d, c ⋹ d + a, d ⋹ a + b.
Welche Bedingung muss mindestens hinzugefügt werden, damit
a b ⋹ d sei?

Auflösung. Die Forderung a b d₁ = 0 gibt, nach allen vier Sym-
bolen entwickelt:
a b c d₁ + a b c₁ d₁ = 0.

In der vereinigten Gleichung der Prämissen:
a b₁ c₁ + b c₁ d₁ + c d₁ a₁ + d a₁ b₁ = 0
ist aber das einzige Glied in welchem a b d₁ als Faktor stecken kann,
weil es von a₁ sowol als b₁ und d frei ist, das zweite, und dieses garan-
tirt, dass a b c₁ d₁ + a₁ b c₁ d₁ = 0 ist. Demnach ist der zweite Teil der
entwickelten Forderung bereits ohnehin erfüllt, und braucht nur mehr
noch stipulirt zu werden, dass: a b c d₁ = 0, das heisst a b c ⋹ d sei. —

18. Aufgabe. Man eliminire und berechne x aus der Sub-
sumtion:
a x + b x₁ + c ⋹ α x + β x₁ + γ.

Auflösung. Homogen gemacht lautet dieselbe Prämisse:
(a + c) x + (b + c) x₁ ⋹ (α + γ) x + (β + γ) x₁,
und wird dieselbe rechts auf 0 gebracht, indem man ihre linke Seite
mit der Negation der rechten multiplizirt. Nach den Theoremen 38),
36) und 46) lässt sich dies unmittelbar hinschreiben in Gestalt von:
(a + c) α₁ γ₁ x + (b + c) β₁ γ₁ x₁ = 0,
woraus nun als Resultante der Elimination von x folgt:
(a b + c) α₁ β₁ γ₁ = 0, oder a b + c ⋹ α + β + γ,
und als Auflösung:
x = (b + c) β₁ γ₁ + u a₁ c₁ (α + γ);
oder in Form einer Doppelsubsumtion beides vereinigt:
(b + c) β₁ γ₁ ⋹ x ⋹ a₁ c₁ + α + γ,
oder auch:
(a + c) α₁ γ₁ ⋹ x₁ ⋹ b₁ c₁ + β + γ.

19. Aufgabe. Eliminire und berechne x aus der Gleichung:
a x + b x₁ + c = α x + β x₁ + γ.

Auflösung. Rechts auf 0 gebracht und homogen gemacht lautet
die Gleichung: