Gesucht der Minimalzusatz zu den Bestimmungen, durch welchen jedes Mitglied gezwungen würde, entweder seinen Beitrag zu zahlen oder seine Mitgliedschaft zu verwirken.
Auflösung. Sei 1 die Klasse der Mitglieder, x die Klasse derer, die einen Vortrag halten müssen (sonach auch dürfen), y die Klasse derer, die ein Experiment vormachen müssen, z die Klasse derer, die ihren Beitrag bezahlt haben.
Dann garantiren die bisherigen Bestimmungen schon dass: a1b1c1 = 0, (a b1 + b c1 + c a1) x z1 = 0, (a c1 + a1c + a1b) y z1 = 0, x1y1 = 0 ist, und handelt es sich darum, hinzubringen, dass z1 ausgeschlossen werde aus allen den Teilen der Gesamtheit 1 der Mitglieder, aus denen es nicht bereits ausgeschlossen wurde, nämlich aus der Negation von: a1b1c1 + (a b1 + b c1 + a1c) x + (a c1 + a1b + a1c) y + x1y1.
Diese ist: (a + b + c) (a b c + a1b1c1 + x1) (a c + a1b1c1 + y1) (x + y) in Anbetracht, dass der Koeffizient von x vollends nach a entwickelt sich als a (b1 + c1) + a1 (b + c) darstellt, während der von y als a c1 + a1 (b + c) schon ebendarnach entwickelt ist, wonach die Negationen dieser Koeffizienten sich sofort als a b c + a1b1c resp. a c + a1b1c1 nach meinem Th. 46+) ergeben.
Hier sind nun zunächst die beiden Terme a1b1c1, als in ihre Negation a + b + c zu multiplizirende fortzulassen. Darnach gibt das Produkt der beiden mittleren von den vier Faktoren: a b c + a c x1 + a b c y1 + x1y1, wovon der letzte Term als Negation des nachfolgenden Faktors x + y zu unterdrücken, der vorletzte vom ersten absorbirt wird. Dann erhalten wir durch Ausmultipliziren leicht: a b c (x + y) + a c x1y, wobei jedoch statt x + y genommen werden kann: x + x1y und dann der vom zweiten dieser Glieder herrührende Term in dem letzten Gliede eingeht.
Es bleibt: a b c x + a c x1y als Ausdruck jener Klasse, von welcher z1 auszuschliessen wäre.
Daher ist der gesuchte geringste erforderliche Zusatz zu den Be- stimmungen dieser: a c (b x + x1y) z1 = 0, d. h. "Wer seinen Beitrag nicht gezahlt hat, kann nicht allen drei Sektionen zugleich angehören und einen Vortrag halten, desgleichen kann er nicht den Sektionen a und c gleichzeitig angehören und ohne Vortrag zu halten ein Experiment vormachen".
Hätte man oben die Koeffizienten von x und y mittelst Ausmultipli- zirens von (a1 + b) (b1 + c) (c1 + a) resp. (a1 + c) (a + b1) (a + c1) negirt, so
Dreizehnte Vorlesung.
Gesucht der Minimalzusatz zu den Bestimmungen, durch welchen jedes Mitglied gezwungen würde, entweder seinen Beitrag zu zahlen oder seine Mitgliedschaft zu verwirken.
Auflösung. Sei 1 die Klasse der Mitglieder, x die Klasse derer, die einen Vortrag halten müssen (sonach auch dürfen), y die Klasse derer, die ein Experiment vormachen müssen, z die Klasse derer, die ihren Beitrag bezahlt haben.
Dann garantiren die bisherigen Bestimmungen schon dass: a1b1c1 = 0, (a b1 + b c1 + c a1) x z1 = 0, (a c1 + a1c + a1b) y z1 = 0, x1y1 = 0 ist, und handelt es sich darum, hinzubringen, dass z1 ausgeschlossen werde aus allen den Teilen der Gesamtheit 1 der Mitglieder, aus denen es nicht bereits ausgeschlossen wurde, nämlich aus der Negation von: a1b1c1 + (a b1 + b c1 + a1c) x + (a c1 + a1b + a1c) y + x1y1.
Diese ist: (a + b + c) (a b c + a1b1c1 + x1) (a c + a1b1c1 + y1) (x + y) in Anbetracht, dass der Koeffizient von x vollends nach a entwickelt sich als a (b1 + c1) + a1 (b + c) darstellt, während der von y als a c1 + a1 (b + c) schon ebendarnach entwickelt ist, wonach die Negationen dieser Koeffizienten sich sofort als a b c + a1b1c resp. a c + a1b1c1 nach meinem Th. 46+) ergeben.
Hier sind nun zunächst die beiden Terme a1b1c1, als in ihre Negation a + b + c zu multiplizirende fortzulassen. Darnach gibt das Produkt der beiden mittleren von den vier Faktoren: a b c + a c x1 + a b c y1 + x1y1, wovon der letzte Term als Negation des nachfolgenden Faktors x + y zu unterdrücken, der vorletzte vom ersten absorbirt wird. Dann erhalten wir durch Ausmultipliziren leicht: a b c (x + y) + a c x1y, wobei jedoch statt x + y genommen werden kann: x + x1y und dann der vom zweiten dieser Glieder herrührende Term in dem letzten Gliede eingeht.
Es bleibt: a b c x + a c x1y als Ausdruck jener Klasse, von welcher z1 auszuschliessen wäre.
Daher ist der gesuchte geringste erforderliche Zusatz zu den Be- stimmungen dieser: a c (b x + x1y) z1 = 0, d. h. „Wer seinen Beitrag nicht gezahlt hat, kann nicht allen drei Sektionen zugleich angehören und einen Vortrag halten, desgleichen kann er nicht den Sektionen a und c gleichzeitig angehören und ohne Vortrag zu halten ein Experiment vormachen“.
Hätte man oben die Koeffizienten von x und y mittelst Ausmultipli- zirens von (a1 + b) (b1 + c) (c1 + a) resp. (a1 + c) (a + b1) (a + c1) negirt, so
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Dreizehnte Vorlesung.
Gesucht der Minimalzusatz zu den Bestimmungen, durch welchen
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Auflösung. Sei 1 die Klasse der Mitglieder, x die Klasse derer,
die einen Vortrag halten müssen (sonach auch dürfen), y die Klasse
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ihren Beitrag bezahlt haben.
Dann garantiren die bisherigen Bestimmungen schon dass:
a1 b1 c1 = 0, (a b1 + b c1 + c a1) x z1 = 0, (a c1 + a1 c + a1 b) y z1 = 0, x1 y1 = 0
ist, und handelt es sich darum, hinzubringen, dass z1 ausgeschlossen
werde aus allen den Teilen der Gesamtheit 1 der Mitglieder, aus denen
es nicht bereits ausgeschlossen wurde, nämlich aus der Negation von:
a1 b1 c1 + (a b1 + b c1 + a1 c) x + (a c1 + a1 b + a1 c) y + x1 y1.
Diese ist:
(a + b + c) (a b c + a1 b1 c1 + x1) (a c + a1 b1 c1 + y1) (x + y)
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schon ebendarnach entwickelt ist, wonach die Negationen dieser Koeffizienten
sich sofort als a b c + a1 b1 c resp. a c + a1 b1 c1 nach meinem Th. 46+) ergeben.
Hier sind nun zunächst die beiden Terme a1 b1 c1, als in ihre Negation
a + b + c zu multiplizirende fortzulassen. Darnach gibt das Produkt der
beiden mittleren von den vier Faktoren:
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durch Ausmultipliziren leicht: a b c (x + y) + a c x1 y, wobei jedoch statt x + y
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herrührende Term in dem letzten Gliede eingeht.
Es bleibt:
a b c x + a c x1 y
als Ausdruck jener Klasse, von welcher z1 auszuschliessen wäre.
Daher ist der gesuchte geringste erforderliche Zusatz zu den Be-
stimmungen dieser:
a c (b x + x1 y) z1 = 0,
d. h. „Wer seinen Beitrag nicht gezahlt hat, kann nicht allen drei
Sektionen zugleich angehören und einen Vortrag halten, desgleichen
kann er nicht den Sektionen a und c gleichzeitig angehören und ohne
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Hätte man oben die Koeffizienten von x und y mittelst Ausmultipli-
zirens von (a1 + b) (b1 + c) (c1 + a) resp. (a1 + c) (a + b1) (a + c1) negirt, so
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 538. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/558>, abgerufen am 17.02.2025.
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