sowol das Merkmal a, als das d, oder beide fehlen. Sooft die Merk- male a und b zusammen fehlen, fehlen auch die c und d, und umge- kehrt. Gefragt, was ohne Rücksicht auf das Merkmal d von den übrigen ausgesagt werden kann.
Auflösung. Die Klasse der Substanzen, die ein bestimmtes Merkmal besitzt, möge für die Zwecke der Rechnung hier mit dem Namen des Merkmals selbst dargestellt werden. So fordern die Prä- missen, dass: a bc d1 + c1d, b ca d + a1d1, a1b1 = c1d1 sei. Aus diesen ist d zu eliminiren, die Resultante nach a oder b oder c aufzulösen, das Ergebniss mit Worten zu deuten. Vereinigte Gleichung des Prämissensystemes ist: a b (c d + c1d1) + b c (a d1 + a1d) + a1b1 (c + d) + c1d1 (a + b) = 0.
Die Elimination von d erfordert den Ansatz: a1b1c + (a b c + a1b c + a1b1) (a b c1 + a b c + a c1 + b c1) = 0 zu dessen Herstellung man aus der vereinigten Gleichung blos heraus- zulesen braucht: das von d sowol als d1 freie Glied, sodann die Koeffi- zienten, mit welchen d behaftet erscheint und endlich die Koeffizienten von d1. Der erste Klammerfaktor zieht sich in b c + a1b1, der zweite in a b + a c1 + b c1 zusammen, wonach leicht a b c als das Produkt der beiden erkannt wird. Mithin ist unsre Resultante: a b c + a1b1c = 0. Sie lehrt, dass die Merkmale a, b und c nie alle drei zusammen auf- treten, auch in Abwesenheit von a und b das c nicht vorkommt.
Elimination irgend eines der drei Buchstaben a, b, c aus ihr führt auf: 0 = 0 (z. B. des a auf b c · b1c = 0). Die Resultante sagt dem- nach genau dasselbe, wie ihre Auflösung nach irgend einer dieser Un- bekannten. Die Auflösungen sind, wenn u, v, w unbestimmte Klassen (von Substanzen) vorstellen, bezüglich: a = b1c + u (b1 + c1) = b1c + u (b1c + c1) = b1c + u c1, analog b = a1c + v c1 und endlich c = w (a b1 + a1b), oder in Form von Doppelsubsumtionen: b1cab1 + c1, a1cba1 + c1, 0 ca b1 + a1b. Sie zeigen, dass wo in Abwesenheit von b das Merkmal c vorliegt, auch a sich finden muss; wo a sich findet aber b oder auch c not- wendig fehlen wird. Desgleichen, a und b vertauscht. Endlich wo c
Schröder, Algebra der Logik. 34
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
sowol das Merkmal a, als das d, oder beide fehlen. Sooft die Merk- male a und b zusammen fehlen, fehlen auch die c und d, und umge- kehrt. Gefragt, was ohne Rücksicht auf das Merkmal d von den übrigen ausgesagt werden kann.
Auflösung. Die Klasse der Substanzen, die ein bestimmtes Merkmal besitzt, möge für die Zwecke der Rechnung hier mit dem Namen des Merkmals selbst dargestellt werden. So fordern die Prä- missen, dass: a b ⋹ c d1 + c1d, b c ⋹ a d + a1d1, a1b1 = c1d1 sei. Aus diesen ist d zu eliminiren, die Resultante nach a oder b oder c aufzulösen, das Ergebniss mit Worten zu deuten. Vereinigte Gleichung des Prämissensystemes ist: a b (c d + c1d1) + b c (a d1 + a1d) + a1b1 (c + d) + c1d1 (a + b) = 0.
Die Elimination von d erfordert den Ansatz: a1b1c + (a b c + a1b c + a1b1) (a b c1 + a b c + a c1 + b c1) = 0 zu dessen Herstellung man aus der vereinigten Gleichung blos heraus- zulesen braucht: das von d sowol als d1 freie Glied, sodann die Koeffi- zienten, mit welchen d behaftet erscheint und endlich die Koeffizienten von d1. Der erste Klammerfaktor zieht sich in b c + a1b1, der zweite in a b + a c1 + b c1 zusammen, wonach leicht a b c als das Produkt der beiden erkannt wird. Mithin ist unsre Resultante: a b c + a1b1c = 0. Sie lehrt, dass die Merkmale a, b und c nie alle drei zusammen auf- treten, auch in Abwesenheit von a und b das c nicht vorkommt.
Elimination irgend eines der drei Buchstaben a, b, c aus ihr führt auf: 0 = 0 (z. B. des a auf b c · b1c = 0). Die Resultante sagt dem- nach genau dasselbe, wie ihre Auflösung nach irgend einer dieser Un- bekannten. Die Auflösungen sind, wenn u, v, w unbestimmte Klassen (von Substanzen) vorstellen, bezüglich: a = b1c + u (b1 + c1) = b1c + u (b1c + c1) = b1c + u c1, analog b = a1c + v c1 und endlich c = w (a b1 + a1b), oder in Form von Doppelsubsumtionen: b1c ⋹ a ⋹ b1 + c1, a1c ⋹ b ⋹ a1 + c1, 0 ⋹ c ⋹ a b1 + a1b. Sie zeigen, dass wo in Abwesenheit von b das Merkmal c vorliegt, auch a sich finden muss; wo a sich findet aber b oder auch c not- wendig fehlen wird. Desgleichen, a und b vertauscht. Endlich wo c
Schröder, Algebra der Logik. 34
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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
sowol das Merkmal a, als das d, oder beide fehlen. Sooft die Merk-
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kehrt. Gefragt, was ohne Rücksicht auf das Merkmal d von den
übrigen ausgesagt werden kann.
Auflösung. Die Klasse der Substanzen, die ein bestimmtes
Merkmal besitzt, möge für die Zwecke der Rechnung hier mit dem
Namen des Merkmals selbst dargestellt werden. So fordern die Prä-
missen, dass:
a b ⋹ c d1 + c1 d, b c ⋹ a d + a1 d1, a1 b1 = c1 d1
sei. Aus diesen ist d zu eliminiren, die Resultante nach a oder b
oder c aufzulösen, das Ergebniss mit Worten zu deuten. Vereinigte
Gleichung des Prämissensystemes ist:
a b (c d + c1 d1) + b c (a d1 + a1 d) + a1 b1 (c + d) + c1 d1 (a + b) = 0.
Die Elimination von d erfordert den Ansatz:
a1 b1 c + (a b c + a1 b c + a1 b1) (a b c1 + a b c + a c1 + b c1) = 0
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zulesen braucht: das von d sowol als d1 freie Glied, sodann die Koeffi-
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auf: 0 = 0 (z. B. des a auf b c · b1 c = 0). Die Resultante sagt dem-
nach genau dasselbe, wie ihre Auflösung nach irgend einer dieser Un-
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(von Substanzen) vorstellen, bezüglich:
a = b1 c + u (b1 + c1) = b1 c + u (b1 c + c1) = b1 c + u c1,
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wendig fehlen wird. Desgleichen, a und b vertauscht. Endlich wo c
Schröder, Algebra der Logik. 34
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 529. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/549>, abgerufen am 19.05.2024.
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