wo w unbestimmt ist -- cf. Th. 33+) nebst dem Absorptionsgesetze (be- hufs Rechtfertigung der letztvollzogenen Kürzung). Oder als Doppelsub- sumtion geschrieben: x) c d1 + c1dac1 + d1. Sie lehrt, dass aus der Anwesenheit von A geschlossen werden kann auf die Abwesenheit von wenigstens einem der beiden Merkmale C, D, und umge- kehrt, dass wo von diesen letztern C und D das eine allein (ohne das andere) sich vorfindet, geschlossen werden kann auf die Anwesenheit von A.
Zur Übung möge der Leser aus z) auch c durch a, b, d und d durch a, b, c ausdrücken und die Ergebnisse interpretiren -- Aufgaben die auch McColl sich gestellt. Man findet leicht als Eliminationsresultante, ver- einfachte Gleichung und Lösung: a1b1d1 = 0, (a d + a1d1) c + (a b d1 + a1d) c1 = 0, c = a b d1 + a1d + u a d1 oder a b d1 + a1dca d1 + a1d; a1b1c1 = 0, (a c + a1c1) d + (a b c1 + a1c) d1 = 0, d = a b c1 + a1c + t a c1 oder a b c1 + a1cda c1 + a1c.
Anmerkung zur 1. Aufgabe.
Natürlich sind die Data unseres Problems auch mögliche und logisch zulässige; denn ihre vereinigte Gleichung e) ist eine Relation, die keinen Widerspruch involvirt, die nach den Regeln des Kalkuls auf die im bisherigen Aussagengebiete allein absurde Behauptung 1 = 0 nicht hinausläuft.
Unmöglich können aber diese Data, so wie Boole angibt, ganz durch Beobachtung (einer Klasse von Naturerzeugnissen) gewonnen worden sein, indem der in der Prämisse b) angeführte Fall a d e1, dass "wo immer die Merkmale A und D in Abwesenheit von E gleichzeitig auftreten", kraft des Gesamtsystems dieser Prämissen, überhaupt nie vorgekommen sein kann.
Liest man nämlich aus der vereinigten Gleichung e) diejenigen Glieder heraus, welche die Kombination a d e1 zum Faktor haben, in- dem man da, wo einer dieser Buchstaben a, d oder e -- nennen wir ihn für den Augenblick x -- unvertreten erscheint, sich den Faktor 1, = x + x1, hinzudenkt, so ergibt sich leicht als die Gesamtheit dieser Glieder: a d e1 (b c1 + b1c) + a b c d e1 + a b1c1d e1 = = a d e1 (b c + b c1 + b1c + b1c1) = a d e1 · 1 = a d e1. In der That ist also nach der vereinigten Gleichung selbst: o) a d e1 = 0, d. h. der Fall konnte niemals vorgekommen sein -- ein Umstand, auf
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
wo w unbestimmt ist — cf. Th. 33+) nebst dem Absorptionsgesetze (be- hufs Rechtfertigung der letztvollzogenen Kürzung). Oder als Doppelsub- sumtion geschrieben: ξ) c d1 + c1d ⋹ a ⋹ c1 + d1. Sie lehrt, dass aus der Anwesenheit von A geschlossen werden kann auf die Abwesenheit von wenigstens einem der beiden Merkmale C, D, und umge- kehrt, dass wo von diesen letztern C und D das eine allein (ohne das andere) sich vorfindet, geschlossen werden kann auf die Anwesenheit von A.
Zur Übung möge der Leser aus ζ) auch c durch a, b, d und d durch a, b, c ausdrücken und die Ergebnisse interpretiren — Aufgaben die auch McColl sich gestellt. Man findet leicht als Eliminationsresultante, ver- einfachte Gleichung und Lösung: a1b1d1 = 0, (a d + a1d1) c + (a b d1 + a1d) c1 = 0, c = a b d1 + a1d + u a d1 oder a b d1 + a1d ⋹ c ⋹ a d1 + a1d; a1b1c1 = 0, (a c + a1c1) d + (a b c1 + a1c) d1 = 0, d = a b c1 + a1c + t a c1 oder a b c1 + a1c ⋹ d ⋹ a c1 + a1c.
Anmerkung zur 1. Aufgabe.
Natürlich sind die Data unseres Problems auch mögliche und logisch zulässige; denn ihre vereinigte Gleichung ε) ist eine Relation, die keinen Widerspruch involvirt, die nach den Regeln des Kalkuls auf die im bisherigen Aussagengebiete allein absurde Behauptung 1 = 0 nicht hinausläuft.
Unmöglich können aber diese Data, so wie Boole angibt, ganz durch Beobachtung (einer Klasse von Naturerzeugnissen) gewonnen worden sein, indem der in der Prämisse β) angeführte Fall a d e1, dass „wo immer die Merkmale A und D in Abwesenheit von E gleichzeitig auftreten“, kraft des Gesamtsystems dieser Prämissen, überhaupt nie vorgekommen sein kann.
Liest man nämlich aus der vereinigten Gleichung ε) diejenigen Glieder heraus, welche die Kombination a d e1 zum Faktor haben, in- dem man da, wo einer dieser Buchstaben a, d oder e — nennen wir ihn für den Augenblick x — unvertreten erscheint, sich den Faktor 1, = x + x1, hinzudenkt, so ergibt sich leicht als die Gesamtheit dieser Glieder: a d e1 (b c1 + b1c) + a b c d e1 + a b1c1d e1 = = a d e1 (b c + b c1 + b1c + b1c1) = a d e1 · 1 = a d e1. In der That ist also nach der vereinigten Gleichung selbst: ο) a d e1 = 0, d. h. der Fall konnte niemals vorgekommen sein — ein Umstand, auf
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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
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hufs Rechtfertigung der letztvollzogenen Kürzung). Oder als Doppelsub-
sumtion geschrieben:
ξ) c d1 + c1 d ⋹ a ⋹ c1 + d1.
Sie lehrt, dass aus der Anwesenheit von A geschlossen werden kann auf die
Abwesenheit von wenigstens einem der beiden Merkmale C, D, und umge-
kehrt, dass wo von diesen letztern C und D das eine allein (ohne das andere)
sich vorfindet, geschlossen werden kann auf die Anwesenheit von A.
Zur Übung möge der Leser aus ζ) auch c durch a, b, d und d durch
a, b, c ausdrücken und die Ergebnisse interpretiren — Aufgaben die auch
McColl sich gestellt. Man findet leicht als Eliminationsresultante, ver-
einfachte Gleichung und Lösung:
a1 b1 d1 = 0, (a d + a1 d1) c + (a b d1 + a1 d) c1 = 0,
c = a b d1 + a1 d + u a d1 oder a b d1 + a1 d ⋹ c ⋹ a d1 + a1 d;
a1 b1 c1 = 0, (a c + a1 c1) d + (a b c1 + a1 c) d1 = 0,
d = a b c1 + a1 c + t a c1 oder a b c1 + a1 c ⋹ d ⋹ a c1 + a1 c.
Anmerkung zur 1. Aufgabe.
Natürlich sind die Data unseres Problems auch mögliche und
logisch zulässige; denn ihre vereinigte Gleichung ε) ist eine Relation,
die keinen Widerspruch involvirt, die nach den Regeln des Kalkuls
auf die im bisherigen Aussagengebiete allein absurde Behauptung 1 = 0
nicht hinausläuft.
Unmöglich können aber diese Data, so wie Boole angibt, ganz
durch Beobachtung (einer Klasse von Naturerzeugnissen) gewonnen
worden sein, indem der in der Prämisse β) angeführte Fall a d e1, dass
„wo immer die Merkmale A und D in Abwesenheit von E gleichzeitig
auftreten“, kraft des Gesamtsystems dieser Prämissen, überhaupt nie
vorgekommen sein kann.
Liest man nämlich aus der vereinigten Gleichung ε) diejenigen
Glieder heraus, welche die Kombination a d e1 zum Faktor haben, in-
dem man da, wo einer dieser Buchstaben a, d oder e — nennen wir
ihn für den Augenblick x — unvertreten erscheint, sich den Faktor
1, = x + x1, hinzudenkt, so ergibt sich leicht als die Gesamtheit dieser
Glieder:
a d e1 (b c1 + b1 c) + a b c d e1 + a b1 c1 d e1 =
= a d e1 (b c + b c1 + b1 c + b1 c1) = a d e1 · 1 = a d e1.
In der That ist also nach der vereinigten Gleichung selbst:
ο) a d e1 = 0,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 527. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/547>, abgerufen am 19.05.2024.
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