Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zwölfte Vorlesung.

Probe stimme, die Parameter selbst wieder die Relation α β₁ + α₁ β = c
erfüllen.

Nach dem gekürzten Schema erhielte man:
x = α (c β₁ + c₁ β), y = β (c α₁ + c₁ α),
wo α, β dann die Gleichung erfüllen müssten:
c (α β₁ + α₁ β) = c, oder c (α β + α₁ β₁) = 0,
welche aufzulösen wenigstens nicht leichter ist, als die ursprüngliche Aufgabe.

Um nun aus diesem Zirkel herauszukommen, nehmen wir die Un-
bekannten nach c entwickelt an:
x = α c₁ + β c, y = γ c₁ + δ c
x₁ = α₁ c₁ + β₁ c, y₁ = γ₁ c₁ + δ₁ c
und machen mit diesen Werten die Probe; es muss dann:
c₁ (α γ₁ + α₁ γ) + c (β δ₁ + β₁ δ) = c
werden, d. h.:
c₁ (α γ₁ + α₁ γ) = 0 und c (β δ + β₁ δ₁) = 0.
Diesen Forderungen genügen wir (zwar für ein gegebenes c keines-
wegs auf die allgemeinste Weise, immerhin jedoch in einer für alle c
zutreffenden Weise), indem wir:
α γ₁ + α₁ γ = 0 und β δ + β₁ δ₁ = 0
selbst machen, womit sich
γ = α und δ = β₁
bestimmt. Einsetzung dieser Werte führt uns nunmehr zu den Dar-
stellungen der Wurzeln:
x = α c₁ + β c, x₁ = α₁ c₁ + β₁ c
y = α c₁ + β₁ c, y₁ = α₁ c₁ + β c,
von welchen in der That erweislich ist, dass sie unser Problem lösen.

Einerseits stimmt (wie gezeigt) die Probe.

Andererseits genügen sie den Forderungen der Symmetrie: durch
Vertauschung von β mit β₁ gehen x und y ineinander über — während
durch Vertauschung von α, β mit α₁, β₁ auch x, y in x₁, y₁, und um-
gekehrt, übergeht.

Endlich aber — und dies muss hier noch besonders nachgewiesen
werden — sind die Lösungen auch die allgemeinsten: Für die An-
nahmen:
α = x y, β = x y₁ (oder auch x + y₁), c = x y₁ + x₁ y
werden in der That die Gleichungen zu analytischen, identisch in x, y
erfüllten. Bei geeigneter Bestimmung der Parameter α, β werden also
unsre Ausdrücke für die Unbekannten auch jedes gewünschte, die vor-