Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Es gibt keine wirkliche Vertauschung, welche hier die Data des
Problems ungeändert liesse: es können x und y hier nicht die Rollen
tauschen und die Aufgabe selbst ist unsymmetrisch. Die Symmetrie
unsrer Lösungen besteht hier gleichwol in dem Sinne, dass weder y
einseitig durch x ausgedrückt wird, noch umgekehrt x durch y, sondern
dass vielmehr beide Unbekannte gleichmässig dargestellt werden durch
zwei unabhängige Parameter α und β. Dass diese Darstellungen so-
gar in Bezug auf letztere symmetrisch erscheinen, dürfte mehr wol
nur als ein Zufall anzusehen sein. Verzichteten wir auf diese Gleich-
mässigkeit, so könnte die Aufgabe schon einfacher mittelst:
x = α, y = α + β,
oder auch mittelst:
x = α β, y = β
in unabhängigen Parametern gelöst werden.

Aufgabe 5. Eine Reihe von Problemen einfachsten Charakters
ergibt sich, indem man fordert, dass von den vier Gliedern der nach
x und y entwickelten Einheit (identischen Eins) irgend eines, irgend
zweie oder irgend dreie verschwinden, dass also von den vier Glei-
chungen:
x y = 0, x y₁ = 0, x₁ y = 0, x₁ y₁ = 0
in jeder möglichen Weise eine Gruppe gelten solle und allemal das
System nach x und y symmetrisch allgemein gelöst werde.

Für die erste Gleichung, wenn sie für sich allein gelten soll, ist dies
schon unter Aufgabe 1 geleistet, für die zweite unter Aufgabe 4 und dar-
aus ergibt sich auch die Lösung für die dritte Gleichung, indem man x
und y vertauscht; endlich braucht man, um für die vierte Gleichung die
Lösungen zu finden, nur bei denen der Aufgabe 1 das x, y durch x₁, y₁
zu ersetzen, somit hier als x und y anzusetzen: die Negationen der an-
gegebnen Wurzeln.

Gleichzeitige Geltung von irgend zweien der vier obigen Gleichungen
führt auf die sechs Aufgaben, je eine von den Gleichungen symmetrisch
allgemein zu lösen:

x y + x y_1 = x = 0,	x y + x_1 y = y = 0,	x y + x_1 y_1 = 0,
x y_1 + x_1 y = 0,	x y_1 + x_1 y_1 = y_1 = 0,	x_1 y + x_1 y_1 = x_1 = 0.

Von diesen bietet nur die dritte und die vierte ein Interesse (siehe
unten). Bei den vier andern Aufgaben fiel nämlich die eine Unbekannte
von selbst heraus; diese bleibt willkürlich und kann einem Parameter α,
oder β, gleichgesetzt werden, wogegen sich die andre Unbekannte gleich 0
resp. 1 bestimmt.

Nach Th. 33₊) gibt das Verschwinden irgend dreier von den vier Ter-
men, mithin auch ihrer Summen zu irgend dreien, die Ansätze: