Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zwölfte Vorlesung.

wodurch es nahegelegt erschiene, den Eindringling ∞ aus der Mannigfaltig-
keit der Gebiete wieder auszustossen. —

Durch die Koexistenz der Gleichungen π) und ο) findet sich
unsre Definition von eindeutiger Differenz und Quotient, die wir oben
durch Partikularisiren der volldeutigen gewannen, noch einmal selb-
ständig ausgedrückt. Z. B. links: Weiss man von einem Gebiete x
nur das eine, dass seine Summe mit einem gegebenen b ein
anderes a liefert, so ist x noch nicht vollständig bekannt. Wohl aber ist
der gesuchte Summand vollkommen bestimmt, wenn man ferner weiss,
dass er den andern b ausschliesst, dass also bx gleichzeitig 0 ist. Etc.

Und ähnlich auch für Klassen. Für letztere besitzt die in
a — b = a b₁ (während a₁ b = 0 gedacht wird) vorgeschriebene logische
Operation einen sehr geläufigen sprachlichen Ausdruck in Gestalt jener
verbalen Formen, mittelst welcher eine Ausnahme statuirt wird.

Es kann das Minuszeichen geradezu mit der Partikel „aus-
genommen“, „ohne“ in die Wortsprache übersetzt werden, indem die
Differenz a — b die Klasse der a mit Ausschluss der b vorstellen wird
(von welchen die Valenzbedingung die Voraussetzung ausspricht, dass
sie ganz in jener enthalten seien).

Bedeutet z. B. a = Metall, b = Edelmetall, so stellt a — b = a b₁
die Metalle vor, welche nicht Edelmetalle sind, also die Metalle ohne die
Edelmetalle, die Metalle mit Ausnahme der Edelmetalle.

Umgekehrt jedoch darf ein sprachlicher Ausdruck von der Form
„die a ohne die b“, „a ausgenommen b“ in unsre Zeichensprache in der
Regel nicht mit a — b ohne weiteres übertragen werden, sondern nur mit
a — a b = a (a b)₁ = a (a₁ + b₁) = a b₁ (wo dann in der That a₁ · a b = 0
ist). Die Wortsprache setzt es nämlich als selbstverständlich voraus,
dass man aus einer Klasse nur solche Individuen ausschliessen könne
und auszuschliessen beabsichtige, welche in ihr enthalten sind — und
diese stillschweigende Forderung muss der hier ausdrucksvollere Kal-
kul ausdrücklich darstellen. Sagt man „die a ohne die b“, so meint
man sicherlich nur „die a ohne diejenigen b, welche a sind“.

Wird z. B. berichtet, im untergegangenen Schiffe seien alle Passa-
gire (a) ertrunken, ausgenommen die Frauen (b), welche gerettet worden,
so ist, wenn b die Klasse der Frauen schlechtweg, somit im ganzen
Menschengeschlechte, bedeutet, die Klasse der ertrunkenen Personen offen-
bar nur a — a b = a b₁ nicht aber a — b, welcher Ansatz gar keinen Sinn
haben würde, indem hier die Valenzbedingung b ⋹ a nicht erfüllt wäre.
Für a — a b hier a — b schreiben hiesse: von den Passagiren des Schiffes
auch die in ruhiger Sicherheit auf dem Festlande lebenden Frauen aus-
schliessen zu wollen.