Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 23. Identische Subtraktion und Division.

wert zusammengefassten Werten, und weil a · 0 = 0, so ist es hier der
Hauptwert selber: 0 = a — a.

Es erübrigt noch, auch Ausdrücke von den folgenden Formen einmal
in's Auge zu fassen:
ϱ

[Tabelle]

von welchen die Valenzbedingung zeigt, dass sie im Allgemeinen sinnlose,
„uninterpretable“ sind, falls nämlich nicht gerade a gleich

1	0
0	1

bezüglich bedeutet.

Führte man hier das Zeichen ∞ („unendlich“) als Symbol der Ab-
surdität, des Unsinns ein, so könnte man — falls nur nicht gerade die
eben genannte Voraussetzung zutrifft — diese Ausdrücke samt und sonders
gleich ∞ setzen, und speziell wäre zuverlässig:
σ) 0 ÷ 1 = ∞ = 1 : : 0 sowie 0 — 1 = ∞ = 1 : 0 = [Formel 1]
— letzteres wie in der Arithmetik [wobei nun auch die Gleichung
0 — 1 = [Formel 2] als zu sich selbst dual erscheinen würde].

Es ist in der That unverfänglich, die verschiedenen absurden Ausdrücke,
wie 0 — 1 und 1 : 0, einander gleich zu setzen. Alles was unsinnig ist,
darf für einerlei uns gelten. Gäbe man überhaupt auch nur den aller-
geringsten Unsinn zu, so würde ja durch vollkommen logische Schlüsse
auch jeder gewünschte „noch so grosse“ Unsinn sich beweisen lassen —
ähnlich wie bekanntlich in der Arithmetik, so auch in identischen Kalkul.

Speziell hier: Lässt man zu, dass es ein x = [Formel 3] gebe von der Eigen-
schaft, dass x · 0 = 1 ist, so ist leicht zu zeigen, dass auch für ebendieses
x gilt: x + 1 = 0 nebst x · 1 = 0, dass also auch x = 0 — 1 anzuerkennen
ist. Wegen x · 0 = 0 folgte nämlich aus der Annahme, dass 0 = 1, und
hieraus durch beiderseitiges Multipliziren mit x auch 0 = x, sodann
x + 1 = x + 0 = x = 0 und x · 1 = 0 · 1 = 0. —

Das Symbol ∞ kann aber nicht, wie seinerzeit das Symbol 0, als ein
„uneigentliches“ Gebiet der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete zugeschlagen, ad-
jungirt werden; vielmehr vertritt es die Null der „abgeleiteten“ Mn., Mn. der
Gebieteklassen.

Es müsste nämlich seine Hinzuziehung, Zulassung als „Gebiet“ die
Folge haben, dass die Prinzipien unsres Kalkuls, wenn sie in voller All-
gemeingültigkeit aufrecht erhalten würden, sich selbst aufhöben, uns nach
allen Seiten in Widersprüche verwickelten [wie wir denn nach der Defi-
nition ∞ = [Formel 4] nun ∞ · 0 = 1 hätten im Widerspruch mit a · 0 = 0 bei
der Annahme a = ∞, etc.] — dass sie andernfalles ihre Allgemeingültig-
keit verlören und mit lästig zu beobachtenden Ausnahmen behaftet würden,