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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Sicher tritt dies, weil nach Th. 49+) x zwischen b und a1 gelegen,
ein, wenn
b = a1, somit auch a = b1,
ist, oder, da diese Bedingung, rechts auf 0 gebracht, als
a b + a1 b1 = 0
sich darstellt, wenn nicht nur die Auflösbarkeitsbedingung a b = 0,
sondern auch daneben noch die Bedingung a1 b1 = 0 erfüllt ist.

Wir haben in diesem Falle:
x = a1 b = b = b + a1 = a1
als die einzige Wurzel der aufzulösenden Gleichung, deren verschiedene
Ausdrucksformen der Leser mit Rücksicht auf die angeführten Rela-
tionen, soweit es nicht bereits geschehen, leicht auf einander zurück-
führen wird. In der That fällt dann aus allen Formeln für die Wurzel
x das unbestimmte Gebiet u von selbst heraus, wie auch direkt bei
einer jeden von ihnen -- am leichtesten bei n) -- zu sehen ist.

Jene Bedingung b = a1 ist aber nicht nur hinreichend für das
Zusammenfallen sämmtlicher Wurzeln, sondern auch notwendig für
dieses. Soll nämlich x = b u1 + a1 u unabhängig sein von u, so muss
es insbesondre für u = 0 auch denselben Wert annehmen wie für
u = 1, d. h. es muss b = a1, sonach da a b ohnehin = 0 ist, auch
a1 b1 = 0 sein. Also:

Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung
eine und nur eine Wurzel habe ist: dass die Koeffizienten Negationen von
einander seien.*)

Ihre Wurzel ist dann eindeutig bestimmt, die Unbekannte näm-
lich gleich dem Koeffizienten ihrer Negation (oder der Negation ihres
Koeffizienten) in der Gleichung.

Für diesen Fall kommt in der That die Gleichung
a x + a1 x1 = 0 oder b1 x + b x1 = 0
nach Th. 39) auch direkt auf x = a1 = b hinaus. --

In jedem andern Falle ist die Wurzel durch die Gleichung nicht
vollkommen bestimmt, vielmehr die Auflösung (unendlich) vieldeutig
("unendlich" nur in dem Falle nicht, wo die Klasse, das Gebiet a1 b
aus einer begrenzten Menge von Individuen, Punkten bestünde).

t) Wir erwähnten bereits, wann u arbiträr bleiben wird.

*) Man könnte auch sagen: a1 b1 = 0 ist die Bedingung dafür, dass nicht
mehr als eine Wurzel, sowie a b = 0 die Bedingung dafür, dass nicht weniger als
eine (dass nicht gar keine) Wurzel existire.
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Sicher tritt dies, weil nach Th. 49+) x zwischen b und a1 gelegen,
ein, wenn
b = a1, somit auch a = b1,
ist, oder, da diese Bedingung, rechts auf 0 gebracht, als
a b + a1 b1 = 0
sich darstellt, wenn nicht nur die Auflösbarkeitsbedingung a b = 0,
sondern auch daneben noch die Bedingung a1 b1 = 0 erfüllt ist.

Wir haben in diesem Falle:
x = a1 b = b = b + a1 = a1
als die einzige Wurzel der aufzulösenden Gleichung, deren verschiedene
Ausdrucksformen der Leser mit Rücksicht auf die angeführten Rela-
tionen, soweit es nicht bereits geschehen, leicht auf einander zurück-
führen wird. In der That fällt dann aus allen Formeln für die Wurzel
x das unbestimmte Gebiet u von selbst heraus, wie auch direkt bei
einer jeden von ihnen — am leichtesten bei ν) — zu sehen ist.

Jene Bedingung b = a1 ist aber nicht nur hinreichend für das
Zusammenfallen sämmtlicher Wurzeln, sondern auch notwendig für
dieses. Soll nämlich x = b u1 + a1 u unabhängig sein von u, so muss
es insbesondre für u = 0 auch denselben Wert annehmen wie für
u = 1, d. h. es muss b = a1, sonach da a b ohnehin = 0 ist, auch
a1 b1 = 0 sein. Also:

Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung
eine und nur eine Wurzel habe ist: dass die Koeffizienten Negationen von
einander seien.*)

Ihre Wurzel ist dann eindeutig bestimmt, die Unbekannte näm-
lich gleich dem Koeffizienten ihrer Negation (oder der Negation ihres
Koeffizienten) in der Gleichung.

Für diesen Fall kommt in der That die Gleichung
a x + a1 x1 = 0 oder b1 x + b x1 = 0
nach Th. 39) auch direkt auf x = a1 = b hinaus. —

In jedem andern Falle ist die Wurzel durch die Gleichung nicht
vollkommen bestimmt, vielmehr die Auflösung (unendlich) vieldeutig
(„unendlich“ nur in dem Falle nicht, wo die Klasse, das Gebiet a1 b
aus einer begrenzten Menge von Individuen, Punkten bestünde).

τ) Wir erwähnten bereits, wann u arbiträr bleiben wird.

*) Man könnte auch sagen: a1 b1 = 0 ist die Bedingung dafür, dass nicht
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eine (dass nicht gar keine) Wurzel existire.
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[463/0483] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. Sicher tritt dies, weil nach Th. 49+) x zwischen b und a1 gelegen, ein, wenn b = a1, somit auch a = b1, ist, oder, da diese Bedingung, rechts auf 0 gebracht, als a b + a1 b1 = 0 sich darstellt, wenn nicht nur die Auflösbarkeitsbedingung a b = 0, sondern auch daneben noch die Bedingung a1 b1 = 0 erfüllt ist. Wir haben in diesem Falle: x = a1 b = b = b + a1 = a1 als die einzige Wurzel der aufzulösenden Gleichung, deren verschiedene Ausdrucksformen der Leser mit Rücksicht auf die angeführten Rela- tionen, soweit es nicht bereits geschehen, leicht auf einander zurück- führen wird. In der That fällt dann aus allen Formeln für die Wurzel x das unbestimmte Gebiet u von selbst heraus, wie auch direkt bei einer jeden von ihnen — am leichtesten bei ν) — zu sehen ist. Jene Bedingung b = a1 ist aber nicht nur hinreichend für das Zusammenfallen sämmtlicher Wurzeln, sondern auch notwendig für dieses. Soll nämlich x = b u1 + a1 u unabhängig sein von u, so muss es insbesondre für u = 0 auch denselben Wert annehmen wie für u = 1, d. h. es muss b = a1, sonach da a b ohnehin = 0 ist, auch a1 b1 = 0 sein. Also: Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung eine und nur eine Wurzel habe ist: dass die Koeffizienten Negationen von einander seien. *) Ihre Wurzel ist dann eindeutig bestimmt, die Unbekannte näm- lich gleich dem Koeffizienten ihrer Negation (oder der Negation ihres Koeffizienten) in der Gleichung. Für diesen Fall kommt in der That die Gleichung a x + a1 x1 = 0 oder b1 x + b x1 = 0 nach Th. 39) auch direkt auf x = a1 = b hinaus. — In jedem andern Falle ist die Wurzel durch die Gleichung nicht vollkommen bestimmt, vielmehr die Auflösung (unendlich) vieldeutig („unendlich“ nur in dem Falle nicht, wo die Klasse, das Gebiet a1 b aus einer begrenzten Menge von Individuen, Punkten bestünde). τ) Wir erwähnten bereits, wann u arbiträr bleiben wird. *) Man könnte auch sagen: a1 b1 = 0 ist die Bedingung dafür, dass nicht mehr als eine Wurzel, sowie a b = 0 die Bedingung dafür, dass nicht weniger als eine (dass nicht gar keine) Wurzel existire.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 463. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/483>, abgerufen am 20.05.2024.