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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen-
gezogen ist, auch "die Resultante der Elimination".. Dass die An-
wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem-
nächst erhellen.

Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, ...
gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso
bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein
System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das
aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x,
y, ... nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende
Symbole, wie a, b, ... enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen
Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei-
spiel unbestimmte Parameter sein würden).

Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann "ein volles Eli-
minationsergebniss" zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher
mindestens ein Wertsystem von x, y, ... gibt, für welches auch B ·er-
füllt sein muss.

Ist nun auch R' "ein volles Eliminationsergebniss" in diesem
Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R'
logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen:
wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um-
gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar
eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist,
kann nicht vorkommen.

Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist,
so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, ... für
welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss
auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations-
ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der
soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach
unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc.

Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R
zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations-
ergebniss -- vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks-
weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als "das Resultat der Elimi-
nation" schlechthin bezeichnen.

In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli-
minanden x, y, ... gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein
einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber
das Resultat der Elimination von x, y, ... aus ihm sein muss; es fällt

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen-
gezogen ist, auch „die Resultante der Elimination“‥ Dass die An-
wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem-
nächst erhellen.

Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, …
gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso
bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein
System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das
aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x,
y, … nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende
Symbole, wie a, b, … enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen
Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei-
spiel unbestimmte Parameter sein würden).

Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann „ein volles Eli-
minationsergebniss“ zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher
mindestens ein Wertsystem von x, y, … gibt, für welches auch B ·er-
füllt sein muss.

Ist nun auch R' „ein volles Eliminationsergebniss“ in diesem
Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R'
logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen:
wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um-
gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar
eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist,
kann nicht vorkommen.

Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist,
so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, … für
welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss
auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations-
ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der
soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach
unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc.

Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R
zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations-
ergebniss — vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks-
weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als „das Resultat der Elimi-
nation“ schlechthin bezeichnen.

In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli-
minanden x, y, … gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein
einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber
das Resultat der Elimination von x, y, … aus ihm sein muss; es fällt

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[453/0473] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. tionen sich darstellt, vielmehr in eine einzige Relation zusammen- gezogen ist, auch „die Resultante der Elimination“‥ Dass die An- wendung des bestimmten Artikels hiebei gerechtfertigt ist, wird dem- nächst erhellen. Es bezeichne B kurz das als Basis der Elimination von x, y, … gegebene System von Propositionen (und zwar Relationen), ebenso bezeichne R ein Eliminationsergebniss. Dasselbe wird hienach ein System von Relationen sein (oder auch eine einzige Relation), das aus B folgt, jedoch die in B (vielleicht) vorkommenden Symbole x, y, … nicht enthält; R kann nur andere, in B ebenfalls vorkommende Symbole, wie a, b, … enthalten (nebst vielleicht noch ganz neuen Symbolen, die auch in B nicht vorgekommen waren, wie es zum Bei- spiel unbestimmte Parameter sein würden). Nach der beabsichtigten Erklärung ist R dann „ein volles Eli- minationsergebniss“ zu nennen, wenn, sobald R erfüllt ist, es sicher mindestens ein Wertsystem von x, y, … gibt, für welches auch B ·er- füllt sein muss. Ist nun auch R' „ein volles Eliminationsergebniss“ in diesem Sinne, so erkennt man leicht, dass die beiden Ergebnisse R und R' logisch äquivalent sind, dass sie einander gegenseitig bedingen müssen: wann R erfüllt ist, wird auch R' erfüllt sein und ebenso folgt um- gekehrt aus der Geltung von R' auch die von R; der Fall, dass zwar eines von den beiden Ergebnissen, aber nicht das andere, erfüllt ist, kann nicht vorkommen. Denn wäre zum Beispiel R erfüllt, während R' nicht erfüllt ist, so gäbe es aus dem erstern Grunde ein Wertsystem der x, y, … für welches auch B erfüllt ist. Da für dieses nun also B gilt, so muss auch R' gelten, indem laut Voraussetzung R' als ein Eliminations- ergebniss aus B folgte. Das Erfülltsein von R' widerspräche also der soeben gemachten Annahme seines Nichterfülltseins, welche hienach unzulässig war, zu verwerfen ist. Etc. Wir sind darum berechtigt, R' eine blosse Umschreibung von R zu nennen; zu sagen R und R' seien wesentlich dasselbe Eliminations- ergebniss — vielleicht nur in verschiedenen Formen oder Ausdrucks- weisen. Wir dürfen R (sowie auch R') als „das Resultat der Elimi- nation“ schlechthin bezeichnen. In dem besonderen Falle, wo das Propositionensystem B die Eli- minanden x, y, … gar nicht enthalten sollte, wo von vornherein kein einziger von diesen in ihm vorkäme, ist leicht zu sehen, dass B selber das Resultat der Elimination von x, y, … aus ihm sein muss; es fällt

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 453. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/473>, abgerufen am 22.11.2024.