bolen eventuell vorkommt ("eventuell", d. h. nicht notwendig durchaus, vielleicht sogar überhaupt nicht), und man leitet daraus durch logische Schlüsse solche (eventuell neue) Propositionen ab, welche jene Sym- bole x, y, ... nicht enthalten, in welchen deren Name gar nicht vor- kommt, so nennt man diese letztern Propositionen (sowol sie einzeln, als auch das System derselben) "ein Ergebniss der Elimination von x, y, ... aus jenem gegebenen Propositionensystems". Man sagt: man habe die Symbole x, y, ... aus dem Systeme herausgeworfen oder "eliminirt".
Es gibt hienach im Allgemeinen mehrere Eliminationsergebnisse für das nämliche Propositionensystem und in Bezug auf die nämlichen Symbole x, y, ... als zu eliminirende Gebiete oder "Eliminanden".
In unserm Falle würde z. B. auch a b c = 0 ein solches sein, was immer c bedeuten mag.
Doch ist zu bemerken, dass man diejenigen von den durch die Elimination gewonnenen Propositionen, welche etwa sich als "ana- lytische" Propositionen herausstellen sollten, fallen lässt, und sie end- gültig, definitiv dem Eliminationsergebnisse nicht zuzuzählen pflegt aus dem Grunde, weil man sonst immer eine unbegrenzte Menge von "nichtssagenden" Propositionen mit in's Auge zu fassen hätte. So dürften beispielsweise die analytischen Propositionen 0 a, b 1, a ba, (a b)1 = a1 + b1, etc. unserem Eliminationsergebniss a b = 0 nicht zugezählt werden, obwol auch sie sich als Aussagen über a, b darstellen, die x nicht enthalten. M. a. W.:
Gleichwie bei dem als "Basis" der Elimination dienenden Systeme von gegebenen Propositionen diese nur in Betracht kommen, sofern sie Relationen darstellen, dagegen beiseite zu lassen sein werden, so- bald sie etwa analytische Propositionen sein sollten, so fallen auch als Eliminationsergebnisse nur Relationen in's Gewicht.
Es ist nun eine gelegentlich sehr wichtige Frage, welche Rela- tionen etwa, unabhängig von den Werten der Symbole x, y, ... zwischen den übrigen im gegebenen Propositionensysteme vorkommenden Gebiet- symbolen bestehen werden, sobald dieses System gilt, m. a. W. welche Relationen diese übrigen Symbole erfüllen, zu einander eingehen müssen, damit das Propositionensystem überhaupt bestehen könne -- für irgend ein Wertsystem der Eliminanden.
Ein solches Eliminationsergebniss, durch welches diese Frage "vollständig" beantwortet wird (in sogleich noch näher präzisirtem Sinne), heisst "das volle Eliminationsergebniss" oder schlechtweg "das Eliminationsresultat", und sofern es nicht als ein System von Rela-
Eilfte Vorlesung.
bolen eventuell vorkommt („eventuell“, d. h. nicht notwendig durchaus, vielleicht sogar überhaupt nicht), und man leitet daraus durch logische Schlüsse solche (eventuell neue) Propositionen ab, welche jene Sym- bole x, y, … nicht enthalten, in welchen deren Name gar nicht vor- kommt, so nennt man diese letztern Propositionen (sowol sie einzeln, als auch das System derselben) „ein Ergebniss der Elimination von x, y, … aus jenem gegebenen Propositionensystems“. Man sagt: man habe die Symbole x, y, … aus dem Systeme herausgeworfen oder „eliminirt“.
Es gibt hienach im Allgemeinen mehrere Eliminationsergebnisse für das nämliche Propositionensystem und in Bezug auf die nämlichen Symbole x, y, … als zu eliminirende Gebiete oder „Eliminanden“.
In unserm Falle würde z. B. auch a b c = 0 ein solches sein, was immer c bedeuten mag.
Doch ist zu bemerken, dass man diejenigen von den durch die Elimination gewonnenen Propositionen, welche etwa sich als „ana- lytische“ Propositionen herausstellen sollten, fallen lässt, und sie end- gültig, definitiv dem Eliminationsergebnisse nicht zuzuzählen pflegt aus dem Grunde, weil man sonst immer eine unbegrenzte Menge von „nichtssagenden“ Propositionen mit in's Auge zu fassen hätte. So dürften beispielsweise die analytischen Propositionen 0 ⋹ a, b ⋹ 1, a b ⋹ a, (a b)1 = a1 + b1, etc. unserem Eliminationsergebniss a b = 0 nicht zugezählt werden, obwol auch sie sich als Aussagen über a, b darstellen, die x nicht enthalten. M. a. W.:
Gleichwie bei dem als „Basis“ der Elimination dienenden Systeme von gegebenen Propositionen diese nur in Betracht kommen, sofern sie Relationen darstellen, dagegen beiseite zu lassen sein werden, so- bald sie etwa analytische Propositionen sein sollten, so fallen auch als Eliminationsergebnisse nur Relationen in's Gewicht.
Es ist nun eine gelegentlich sehr wichtige Frage, welche Rela- tionen etwa, unabhängig von den Werten der Symbole x, y, … zwischen den übrigen im gegebenen Propositionensysteme vorkommenden Gebiet- symbolen bestehen werden, sobald dieses System gilt, m. a. W. welche Relationen diese übrigen Symbole erfüllen, zu einander eingehen müssen, damit das Propositionensystem überhaupt bestehen könne — für irgend ein Wertsystem der Eliminanden.
Ein solches Eliminationsergebniss, durch welches diese Frage „vollständig“ beantwortet wird (in sogleich noch näher präzisirtem Sinne), heisst „das volle Eliminationsergebniss“ oder schlechtweg „das Eliminationsresultat“, und sofern es nicht als ein System von Rela-
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[452/0472]
Eilfte Vorlesung.
bolen eventuell vorkommt („eventuell“, d. h. nicht notwendig durchaus,
vielleicht sogar überhaupt nicht), und man leitet daraus durch logische
Schlüsse solche (eventuell neue) Propositionen ab, welche jene Sym-
bole x, y, … nicht enthalten, in welchen deren Name gar nicht vor-
kommt, so nennt man diese letztern Propositionen (sowol sie einzeln,
als auch das System derselben) „ein Ergebniss der Elimination von x,
y, … aus jenem gegebenen Propositionensystems“. Man sagt: man
habe die Symbole x, y, … aus dem Systeme herausgeworfen oder
„eliminirt“.
Es gibt hienach im Allgemeinen mehrere Eliminationsergebnisse
für das nämliche Propositionensystem und in Bezug auf die nämlichen
Symbole x, y, … als zu eliminirende Gebiete oder „Eliminanden“.
In unserm Falle würde z. B. auch a b c = 0 ein solches sein, was
immer c bedeuten mag.
Doch ist zu bemerken, dass man diejenigen von den durch die
Elimination gewonnenen Propositionen, welche etwa sich als „ana-
lytische“ Propositionen herausstellen sollten, fallen lässt, und sie end-
gültig, definitiv dem Eliminationsergebnisse nicht zuzuzählen pflegt
aus dem Grunde, weil man sonst immer eine unbegrenzte Menge von
„nichtssagenden“ Propositionen mit in's Auge zu fassen hätte. So
dürften beispielsweise die analytischen Propositionen 0 ⋹ a, b ⋹ 1,
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nicht zugezählt werden, obwol auch sie sich als Aussagen über a, b
darstellen, die x nicht enthalten. M. a. W.:
Gleichwie bei dem als „Basis“ der Elimination dienenden Systeme
von gegebenen Propositionen diese nur in Betracht kommen, sofern
sie Relationen darstellen, dagegen beiseite zu lassen sein werden, so-
bald sie etwa analytische Propositionen sein sollten, so fallen auch
als Eliminationsergebnisse nur Relationen in's Gewicht.
Es ist nun eine gelegentlich sehr wichtige Frage, welche Rela-
tionen etwa, unabhängig von den Werten der Symbole x, y, … zwischen
den übrigen im gegebenen Propositionensysteme vorkommenden Gebiet-
symbolen bestehen werden, sobald dieses System gilt, m. a. W. welche
Relationen diese übrigen Symbole erfüllen, zu einander eingehen müssen,
damit das Propositionensystem überhaupt bestehen könne — für irgend
ein Wertsystem der Eliminanden.
Ein solches Eliminationsergebniss, durch welches diese Frage
„vollständig“ beantwortet wird (in sogleich noch näher präzisirtem
Sinne), heisst „das volle Eliminationsergebniss“ oder schlechtweg „das
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 452. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/472>, abgerufen am 19.05.2024.
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