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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Siebente Vorlesung.
noch ausstehenden dualen Gegenstücke bisheriger Sätze, nämlich die
noch nicht erwähnten Theoreme:
33x) Th. a b = (a + b) (a + b1) (a1 + b).

Zusatz dazu:
a b = (a + b1) b = a (a1 + b).
34x) Th. (a + b) (a + b1) (a1 + b) (a1 + b1) = 0.

Zusatz dazu:
a b (a1 + b1) = 0.

Beweise für diese Sätze kann man zum Überfluss auch, den vor-
getragenen genau dual entsprechend, konstruiren. Desgleichen mögen
-- eine für den Anfänger empfehlenswerte Übung selbständig Beweise
für sie aufgesucht werden.

Bei den "Zusätzen" genügt schon einfaches Ausmultipliziren mit Rück-
sicht auf 30x) und 21+). Bei den "Theoremen" empfiehlt sich Anwendung
des Schemas 27+), wonach sich z. B. die beiden ersten Klammerfaktoren
zusammenziehen in a + b b1 = a + 0 = a, etc.

Übrigens gleichwie in vorstehenden Beispielen werden wir auch sonst
nirgends gezwungen sein, vom Th. 35) des Dualismus einen wesent-
lichen Gebrauch zu machen, indem wir uns ja die benötigten Sätze
auch samt und sonders einzeln zu beweisen vermögen. Sofern es
uns beliebt, mögen wir das Th. 35) auch lediglich die Rolle eines
empirischen Prinzips hier spielen lassen, welches die eben bei jedem
einzelnen Satze zu machende Wahrnehmung, dass auch sein duales
Gegenstück gilt, nachträglich konstatirt, m. a. W. alle diese Wahr-
nehmungen zu einem allgemeinen Satze in erschöpfender Induktion zu-
sammenfasst, resumirt.

In solchen Fällen, wo wir nur mehr des einen der beiden zu ein-
ander dualen Sätze für die Technik des Kalkuls bedürfen werden, be-
gnügen wir uns hinfort, auf die Existenz des andern lediglich in der
Chiffrirung -- durch Anbringung eines Suffixums x oder + bei des
erstern Chiffre -- hinzuweisen.

Den tiefern Grund für die Thatsache, dass wie durch den Gebiete-
kalkul, so auch durch die Lehre von den Begriffen ein Dualismus sich
hindurchzieht, kann man darin erblicken, dass -- wie auf S. 130 er-
kannt -- die Unterordnung von Begriffsumfängen einer Überordnung
der zugehörigen Begriffsinhalte parallel geht, und insbesondre auch
die Multiplikation der Umfänge gleichzeitig angesehen werden kann als
eine Addition der Inhalte. Es ist deshalb nicht zu verwundern, dass
jener identischen Multiplikation auch die Eigenschaften der identischen
Addition genau zukommen, da sie im Grunde selbst eine solche ist.

Siebente Vorlesung.
noch ausstehenden dualen Gegenstücke bisheriger Sätze, nämlich die
noch nicht erwähnten Theoreme:
33×) Th. a b = (a + b) (a + b1) (a1 + b).

Zusatz dazu:
a b = (a + b1) b = a (a1 + b).
34×) Th. (a + b) (a + b1) (a1 + b) (a1 + b1) = 0.

Zusatz dazu:
a b (a1 + b1) = 0.

Beweise für diese Sätze kann man zum Überfluss auch, den vor-
getragenen genau dual entsprechend, konstruiren. Desgleichen mögen
— eine für den Anfänger empfehlenswerte Übung selbständig Beweise
für sie aufgesucht werden.

Bei den „Zusätzen“ genügt schon einfaches Ausmultipliziren mit Rück-
sicht auf 30×) und 21+). Bei den „Theoremen“ empfiehlt sich Anwendung
des Schemas 27+), wonach sich z. B. die beiden ersten Klammerfaktoren
zusammenziehen in a + b b1 = a + 0 = a, etc.

Übrigens gleichwie in vorstehenden Beispielen werden wir auch sonst
nirgends gezwungen sein, vom Th. 35) des Dualismus einen wesent-
lichen Gebrauch zu machen, indem wir uns ja die benötigten Sätze
auch samt und sonders einzeln zu beweisen vermögen. Sofern es
uns beliebt, mögen wir das Th. 35) auch lediglich die Rolle eines
empirischen Prinzips hier spielen lassen, welches die eben bei jedem
einzelnen Satze zu machende Wahrnehmung, dass auch sein duales
Gegenstück gilt, nachträglich konstatirt, m. a. W. alle diese Wahr-
nehmungen zu einem allgemeinen Satze in erschöpfender Induktion zu-
sammenfasst, resumirt.

In solchen Fällen, wo wir nur mehr des einen der beiden zu ein-
ander dualen Sätze für die Technik des Kalkuls bedürfen werden, be-
gnügen wir uns hinfort, auf die Existenz des andern lediglich in der
Chiffrirung — durch Anbringung eines Suffixums × oder + bei des
erstern Chiffre — hinzuweisen.

Den tiefern Grund für die Thatsache, dass wie durch den Gebiete-
kalkul, so auch durch die Lehre von den Begriffen ein Dualismus sich
hindurchzieht, kann man darin erblicken, dass — wie auf S. 130 er-
kannt — die Unterordnung von Begriffsumfängen einer Überordnung
der zugehörigen Begriffsinhalte parallel geht, und insbesondre auch
die Multiplikation der Umfänge gleichzeitig angesehen werden kann als
eine Addition der Inhalte. Es ist deshalb nicht zu verwundern, dass
jener identischen Multiplikation auch die Eigenschaften der identischen
Addition genau zukommen, da sie im Grunde selbst eine solche ist.

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[318/0338] Siebente Vorlesung. noch ausstehenden dualen Gegenstücke bisheriger Sätze, nämlich die noch nicht erwähnten Theoreme: 33×) Th. a b = (a + b) (a + b1) (a1 + b). Zusatz dazu: a b = (a + b1) b = a (a1 + b). 34×) Th. (a + b) (a + b1) (a1 + b) (a1 + b1) = 0. Zusatz dazu: a b (a1 + b1) = 0. Beweise für diese Sätze kann man zum Überfluss auch, den vor- getragenen genau dual entsprechend, konstruiren. Desgleichen mögen — eine für den Anfänger empfehlenswerte Übung selbständig Beweise für sie aufgesucht werden. Bei den „Zusätzen“ genügt schon einfaches Ausmultipliziren mit Rück- sicht auf 30×) und 21+). Bei den „Theoremen“ empfiehlt sich Anwendung des Schemas 27+), wonach sich z. B. die beiden ersten Klammerfaktoren zusammenziehen in a + b b1 = a + 0 = a, etc. Übrigens gleichwie in vorstehenden Beispielen werden wir auch sonst nirgends gezwungen sein, vom Th. 35) des Dualismus einen wesent- lichen Gebrauch zu machen, indem wir uns ja die benötigten Sätze auch samt und sonders einzeln zu beweisen vermögen. Sofern es uns beliebt, mögen wir das Th. 35) auch lediglich die Rolle eines empirischen Prinzips hier spielen lassen, welches die eben bei jedem einzelnen Satze zu machende Wahrnehmung, dass auch sein duales Gegenstück gilt, nachträglich konstatirt, m. a. W. alle diese Wahr- nehmungen zu einem allgemeinen Satze in erschöpfender Induktion zu- sammenfasst, resumirt. In solchen Fällen, wo wir nur mehr des einen der beiden zu ein- ander dualen Sätze für die Technik des Kalkuls bedürfen werden, be- gnügen wir uns hinfort, auf die Existenz des andern lediglich in der Chiffrirung — durch Anbringung eines Suffixums × oder + bei des erstern Chiffre — hinzuweisen. Den tiefern Grund für die Thatsache, dass wie durch den Gebiete- kalkul, so auch durch die Lehre von den Begriffen ein Dualismus sich hindurchzieht, kann man darin erblicken, dass — wie auf S. 130 er- kannt — die Unterordnung von Begriffsumfängen einer Überordnung der zugehörigen Begriffsinhalte parallel geht, und insbesondre auch die Multiplikation der Umfänge gleichzeitig angesehen werden kann als eine Addition der Inhalte. Es ist deshalb nicht zu verwundern, dass jener identischen Multiplikation auch die Eigenschaften der identischen Addition genau zukommen, da sie im Grunde selbst eine solche ist.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 318. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/338>, abgerufen am 27.11.2024.