dann auch a die Negation von b zu nennen, wozu man sich eben durch die vorhergehende Abmachung verpflichtet hat, in Anbetracht, dass diese als eine allgemein zu befolgende hingestellt wurde, welche eben- sogut für ein Paar b, a von Gebieten, wie für das Paar a, b verbind- lich ist. Wird nun für b der Name a1 eingeführt, so gilt für a auch der Name b1 oder (a1)1 -- vergl. übrigens Th. 32).
Ist also b (resp. a1) die Negation von a, so ist auch a die Negation von b (resp. a1).
Die Beziehung der Negation zwischen zwei Gebieten (a und a1) ist allemal eine gegenseitige. Die Beziehung ist "symmetrisch".
Man wird durch Th. 31 erinnert an die Eigenschaft des Minus-Zeichens, an den Satz der Arithmetik: - (- a) = a, und könnte sich im Hinblick auf diese Analogie versucht fühlen, die Be- zeichnung a1 durch -- a ersetzen zu wollen. Wir werden indess später sehen, dass nicht 0 -- (0 -- a) = a sondern 1 -- (1 -- a) = a das wahre arithmetische Analogon des Th. 31) bildet. Vergl. § 23.
32) Theorem.
Ist a = b, so ist auch a1 = b1, oder: Gleiches, negirt, gibt Gleiches.
Beweis. Aus den beiden Gleichungen des Th. 30): aa1 = 0, a + a1 = 1 folgt wegen a = b nach Th. 16), d. h. indem man eben b für a substituirt: b a1 = 0, b + a1 = 1. Nach Th. 30) -- für b in Anspruch genommen -- ist aber auch: b b1 = 0, b + b1 = 1.
Aus diesen vier Gleichungen folgt nach dem Schema des Hülfs- theorems 29): a1 = b1, wie zu zeigen war.
Zusatz 1. Ist a1 = b1, so muss nach Th. 32) auch (a1)1 = (b1)1, mithin kraft Th. 31) auch a = b sein. Die beiden Gleichungen a = b und a1 = b1 bedingen sich also gegenseitig, sind äquivalent.
Zusatz 2. Hienach lässt der Zusatz 2 sub Th. 19), dass in ge- wissen Ausdrücken Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe, sich nunmehr ausdehnen auf alle durch Addition, Multiplikation und Nega- tion hergestellten Ausdrücke: In jedem nur mittelst der identischen Opera- tionen der "drei Spezies" aus Gebietsymbolen aufgebauten Ausdrucke ist es erlaubt, irgend einen Term durch einen ihm identisch gleichen zu ersetzen.
Von dieser Erlaubniss wird beim Rechnen umfassendster Gebrauch gemacht, meist ohne besondern Hinweis auf dieselbe.
Ist z. B. a = c und b = d, so darf man für (a b1 + a1b) e auch schreiben (c d1 + c1d) e. Etc. etc.
Siebente Vorlesung.
dann auch a die Negation von b zu nennen, wozu man sich eben durch die vorhergehende Abmachung verpflichtet hat, in Anbetracht, dass diese als eine allgemein zu befolgende hingestellt wurde, welche eben- sogut für ein Paar b, a von Gebieten, wie für das Paar a, b verbind- lich ist. Wird nun für b der Name a1 eingeführt, so gilt für a auch der Name b1 oder (a1)1 — vergl. übrigens Th. 32).
Ist also b (resp. a1) die Negation von a, so ist auch a die Negation von b (resp. a1).
Die Beziehung der Negation zwischen zwei Gebieten (a und a1) ist allemal eine gegenseitige. Die Beziehung ist „symmetrisch“.
Man wird durch Th. 31 erinnert an die Eigenschaft des Minus-Zeichens, an den Satz der Arithmetik: - (- a) = a, und könnte sich im Hinblick auf diese Analogie versucht fühlen, die Be- zeichnung a1 durch — a ersetzen zu wollen. Wir werden indess später sehen, dass nicht 0 — (0 — a) = a sondern 1 — (1 — a) = a das wahre arithmetische Analogon des Th. 31) bildet. Vergl. § 23.
32) Theorem.
Ist a = b, so ist auch a1 = b1, oder: Gleiches, negirt, gibt Gleiches.
Beweis. Aus den beiden Gleichungen des Th. 30): aa1 = 0, a + a1 = 1 folgt wegen a = b nach Th. 16), d. h. indem man eben b für a substituirt: b a1 = 0, b + a1 = 1. Nach Th. 30) — für b in Anspruch genommen — ist aber auch: b b1 = 0, b + b1 = 1.
Aus diesen vier Gleichungen folgt nach dem Schema des Hülfs- theorems 29): a1 = b1, wie zu zeigen war.
Zusatz 1. Ist a1 = b1, so muss nach Th. 32) auch (a1)1 = (b1)1, mithin kraft Th. 31) auch a = b sein. Die beiden Gleichungen a = b und a1 = b1 bedingen sich also gegenseitig, sind äquivalent.
Zusatz 2. Hienach lässt der Zusatz 2 sub Th. 19), dass in ge- wissen Ausdrücken Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe, sich nunmehr ausdehnen auf alle durch Addition, Multiplikation und Nega- tion hergestellten Ausdrücke: In jedem nur mittelst der identischen Opera- tionen der „drei Spezies“ aus Gebietsymbolen aufgebauten Ausdrucke ist es erlaubt, irgend einen Term durch einen ihm identisch gleichen zu ersetzen.
Von dieser Erlaubniss wird beim Rechnen umfassendster Gebrauch gemacht, meist ohne besondern Hinweis auf dieselbe.
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[306/0326]
Siebente Vorlesung.
dann auch a die Negation von b zu nennen, wozu man sich eben durch
die vorhergehende Abmachung verpflichtet hat, in Anbetracht, dass
diese als eine allgemein zu befolgende hingestellt wurde, welche eben-
sogut für ein Paar b, a von Gebieten, wie für das Paar a, b verbind-
lich ist. Wird nun für b der Name a1 eingeführt, so gilt für a auch
der Name b1 oder (a1)1 — vergl. übrigens Th. 32).
Ist also b (resp. a1) die Negation von a, so ist auch a die Negation
von b (resp. a1).
Die Beziehung der Negation zwischen zwei Gebieten (a und a1) ist
allemal eine gegenseitige. Die Beziehung ist „symmetrisch“.
Man wird durch Th. 31 erinnert an die Eigenschaft des Minus-Zeichens,
an den Satz der Arithmetik:
- (- a) = a,
und könnte sich im Hinblick auf diese Analogie versucht fühlen, die Be-
zeichnung a1 durch — a ersetzen zu wollen. Wir werden indess später
sehen, dass nicht 0 — (0 — a) = a sondern 1 — (1 — a) = a das wahre
arithmetische Analogon des Th. 31) bildet. Vergl. § 23.
32) Theorem.
Ist a = b, so ist auch a1 = b1, oder: Gleiches, negirt, gibt Gleiches.
Beweis. Aus den beiden Gleichungen des Th. 30): aa1 = 0,
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für a substituirt:
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Nach Th. 30) — für b in Anspruch genommen — ist aber auch:
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Aus diesen vier Gleichungen folgt nach dem Schema des Hülfs-
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Zusatz 1. Ist a1 = b1, so muss nach Th. 32) auch (a1)1 = (b1)1,
mithin kraft Th. 31) auch a = b sein. Die beiden Gleichungen a = b
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Zusatz 2. Hienach lässt der Zusatz 2 sub Th. 19), dass in ge-
wissen Ausdrücken Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe, sich
nunmehr ausdehnen auf alle durch Addition, Multiplikation und Nega-
tion hergestellten Ausdrücke: In jedem nur mittelst der identischen Opera-
tionen der „drei Spezies“ aus Gebietsymbolen aufgebauten Ausdrucke ist es
erlaubt, irgend einen Term durch einen ihm identisch gleichen zu ersetzen.
Von dieser Erlaubniss wird beim Rechnen umfassendster Gebrauch
gemacht, meist ohne besondern Hinweis auf dieselbe.
Ist z. B. a = c und b = d, so darf man für (a b1 + a1 b) e auch
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 306. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/326>, abgerufen am 09.05.2024.
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