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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 10. Reine Gesetze.
heben, "welche nur durch 1 und durch sich selber teilbar sind". Die so
charakterisirte Klasse wird dann bestehen aus den Primzahlen (d. i. den
Zahlen die zwei Teiler haben) und aus der bekanntlich nicht zu diesen
gehörigen Eins (die ja nur einen Teiler hat). Für letztere aber ist es
oben doppelt gesagt, dass sie durch 1 teilbar, denn bei ihr heisst eben
"durch sich selber" ebenfalls "durch eins" teilbar. Von ihr sagten wir
also in versteckter Form aus, dass sie "durch 1 und durch 1" teilbar sei
-- eine ausserhalb des Zusammenhanges jedenfalls überflüssige Wiederholung,
die aber innerhalb des Zusammenhanges ganz unerlässlich ist, um die ver-
bale Charakterisirung der Klasse so kurz wie oben zu gestalten.

Verfügt man bereits über den Namen "Primzahlen", sind diese schon
eingeführt, ist ihr Begriff bereits erklärt, so kann man freilich die hervor-
zuhebende Klasse von Zahlen ungefähr ebenso kurz bezeichnen als die der
"Primzahlen nebst der Eins"; jedoch tritt hier erstlich der Gesichtspunkt,
unter dem man die Zahlen hervorheben will, nicht so deutlich zutage, und
zweitens mochte ja auch die ganze Untersuchung der Einführung des Prim-
zahlbegriffs vorangegangen sein.

Sprechen wir einmal von "den Besitzenden und den Adeligen", so
sind die besitzenden Adeligen augenscheinlich doppelt aufgeführt, nämlich
einerseits unter den Besitzenden, dann nochmals unter den Adeligen. Die
Beschreibung der Klasse fällt aber jedenfalls so einfacher aus, als wenn
man diesen Umstand vermeiden wollte.

In Bezug auf weitere Beispiele möge noch auf die Betrachtungen
unter § 18, a .. d) verwiesen sein.

Was nun aber (beim Beschreiben, Charakterisiren von Klassen) in
verhüllter Gestalt implicite, ganz allgemeine Praxis ist, muss im System der
Wissenschaft auch unverhüllt, ausdrücklich, explicite eine Stelle finden.

Zusatz 1 zu Th. 14). Die Ausdehnung dieser spezifischen
Gesetze des identischen Kalkuls auf beliebig viele unter sich gleiche
Operationsglieder ist naheliegend. Wir haben hier auch als all-
gemeingültige Formeln:

a a a ... = a.a + a + a + ... = a.
Behufs Beweises hätte man -- unter Vorausbeziehung auf
Th. 16) -- z. B.:
a a a = (a a) a = a a = a,
sodann
a a a a = (a a a) a = a a = a,
u. s. w.

Die erste lässt erkennen, dass eine Operation des "Potenzirens" im
identischen Kalkul nicht vorkommt. Die "Potenzexponenten" der Arithmetik
bleiben hier als obere Indices für uns verfügbar, und werden wir speziell
unter a1 hier im allgemeinen nicht a selber, sondern irgend ein zweites
von a vielleicht verschiedenes Gebiet verstehen; ebenso wird uns
a, a0, a1, a2, a3, ...

§ 10. Reine Gesetze.
heben, „welche nur durch 1 und durch sich selber teilbar sind“. Die so
charakterisirte Klasse wird dann bestehen aus den Primzahlen (d. i. den
Zahlen die zwei Teiler haben) und aus der bekanntlich nicht zu diesen
gehörigen Eins (die ja nur einen Teiler hat). Für letztere aber ist es
oben doppelt gesagt, dass sie durch 1 teilbar, denn bei ihr heisst eben
„durch sich selber“ ebenfalls „durch eins“ teilbar. Von ihr sagten wir
also in versteckter Form aus, dass sie „durch 1 und durch 1“ teilbar sei
— eine ausserhalb des Zusammenhanges jedenfalls überflüssige Wiederholung,
die aber innerhalb des Zusammenhanges ganz unerlässlich ist, um die ver-
bale Charakterisirung der Klasse so kurz wie oben zu gestalten.

Verfügt man bereits über den Namen „Primzahlen“, sind diese schon
eingeführt, ist ihr Begriff bereits erklärt, so kann man freilich die hervor-
zuhebende Klasse von Zahlen ungefähr ebenso kurz bezeichnen als die der
„Primzahlen nebst der Eins“; jedoch tritt hier erstlich der Gesichtspunkt,
unter dem man die Zahlen hervorheben will, nicht so deutlich zutage, und
zweitens mochte ja auch die ganze Untersuchung der Einführung des Prim-
zahlbegriffs vorangegangen sein.

Sprechen wir einmal von „den Besitzenden und den Adeligen“, so
sind die besitzenden Adeligen augenscheinlich doppelt aufgeführt, nämlich
einerseits unter den Besitzenden, dann nochmals unter den Adeligen. Die
Beschreibung der Klasse fällt aber jedenfalls so einfacher aus, als wenn
man diesen Umstand vermeiden wollte.

In Bezug auf weitere Beispiele möge noch auf die Betrachtungen
unter § 18, α ‥ δ) verwiesen sein.

Was nun aber (beim Beschreiben, Charakterisiren von Klassen) in
verhüllter Gestalt implicite, ganz allgemeine Praxis ist, muss im System der
Wissenschaft auch unverhüllt, ausdrücklich, explicite eine Stelle finden.

Zusatz 1 zu Th. 14). Die Ausdehnung dieser spezifischen
Gesetze des identischen Kalkuls auf beliebig viele unter sich gleiche
Operationsglieder ist naheliegend. Wir haben hier auch als all-
gemeingültige Formeln:

a a a … = a.a + a + a + … = a.
Behufs Beweises hätte man — unter Vorausbeziehung auf
Th. 16) — z. B.:
a a a = (a a) a = a a = a,
sodann
a a a a = (a a a) a = a a = a,
u. s. w.

Die erste lässt erkennen, dass eine Operation des „Potenzirens“ im
identischen Kalkul nicht vorkommt. Die „Potenzexponenten“ der Arithmetik
bleiben hier als obere Indices für uns verfügbar, und werden wir speziell
unter a1 hier im allgemeinen nicht a selber, sondern irgend ein zweites
von a vielleicht verschiedenes Gebiet verstehen; ebenso wird uns
a, a0, a1, a2, a3, …

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[261/0281] § 10. Reine Gesetze. heben, „welche nur durch 1 und durch sich selber teilbar sind“. Die so charakterisirte Klasse wird dann bestehen aus den Primzahlen (d. i. den Zahlen die zwei Teiler haben) und aus der bekanntlich nicht zu diesen gehörigen Eins (die ja nur einen Teiler hat). Für letztere aber ist es oben doppelt gesagt, dass sie durch 1 teilbar, denn bei ihr heisst eben „durch sich selber“ ebenfalls „durch eins“ teilbar. Von ihr sagten wir also in versteckter Form aus, dass sie „durch 1 und durch 1“ teilbar sei — eine ausserhalb des Zusammenhanges jedenfalls überflüssige Wiederholung, die aber innerhalb des Zusammenhanges ganz unerlässlich ist, um die ver- bale Charakterisirung der Klasse so kurz wie oben zu gestalten. Verfügt man bereits über den Namen „Primzahlen“, sind diese schon eingeführt, ist ihr Begriff bereits erklärt, so kann man freilich die hervor- zuhebende Klasse von Zahlen ungefähr ebenso kurz bezeichnen als die der „Primzahlen nebst der Eins“; jedoch tritt hier erstlich der Gesichtspunkt, unter dem man die Zahlen hervorheben will, nicht so deutlich zutage, und zweitens mochte ja auch die ganze Untersuchung der Einführung des Prim- zahlbegriffs vorangegangen sein. Sprechen wir einmal von „den Besitzenden und den Adeligen“, so sind die besitzenden Adeligen augenscheinlich doppelt aufgeführt, nämlich einerseits unter den Besitzenden, dann nochmals unter den Adeligen. Die Beschreibung der Klasse fällt aber jedenfalls so einfacher aus, als wenn man diesen Umstand vermeiden wollte. In Bezug auf weitere Beispiele möge noch auf die Betrachtungen unter § 18, α ‥ δ) verwiesen sein. Was nun aber (beim Beschreiben, Charakterisiren von Klassen) in verhüllter Gestalt implicite, ganz allgemeine Praxis ist, muss im System der Wissenschaft auch unverhüllt, ausdrücklich, explicite eine Stelle finden. Zusatz 1 zu Th. 14). Die Ausdehnung dieser spezifischen Gesetze des identischen Kalkuls auf beliebig viele unter sich gleiche Operationsglieder ist naheliegend. Wir haben hier auch als all- gemeingültige Formeln: a a a … = a. a + a + a + … = a. Behufs Beweises hätte man — unter Vorausbeziehung auf Th. 16) — z. B.: a a a = (a a) a = a a = a, sodann a a a a = (a a a) a = a a = a, u. s. w. Die erste lässt erkennen, dass eine Operation des „Potenzirens“ im identischen Kalkul nicht vorkommt. Die „Potenzexponenten“ der Arithmetik bleiben hier als obere Indices für uns verfügbar, und werden wir speziell unter a1 hier im allgemeinen nicht a selber, sondern irgend ein zweites von a vielleicht verschiedenes Gebiet verstehen; ebenso wird uns a, a0, a1, a2, a3, …

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 261. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/281>, abgerufen am 09.05.2024.