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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete.

Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die
Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi-
nition (3):

Zu Fig. 9x, Wenn irgend ein
Gebiet c zugleich in a und b ent-
halten ist, so ist es auch in dem
angeblichen Gebiet a b enthalten.
Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in
dem fraglichen a b enthalten ist, so
ist es auch zugleich in a und in b
enthalten.		Zu Fig. 9+. Wenn a und zu-
gleich b ganz in einem Gebiete c
enthalten sind, so ist auch das an-
gebliche Gebiet a + b in diesem c
enthalten. Und umgekehrt, wenn
das problematische a + b in einem
Gebiete c enthalten ist, so ist
auch sowol a als b in diesem c ent-
halten.

Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo-
rem 6).

Zu Fig. 10x, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch
zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar,
welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber
auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten -- cf. I sowie
Def. (2x), nach welchen beiden ja 0 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c
in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5x)
selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2x) dann auch in a sowie
in b enthalten.

Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders
gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0
ist -- ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter
Faktorenzahl schon nicht mehr gilt -- dieser Satz trifft im identischen
Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden,
ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber
auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die
Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben
erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [Formel 1] = 0 (für a
ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith-
metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde
bereits hervorgehoben.

In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6
abgeleiteten Formen der Def. (3).

Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und
nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über-
fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten
Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

§ 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete.

Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die
Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi-
nition (3):

Zu Fig. 9×, Wenn irgend ein
Gebiet c zugleich in a und b ent-
halten ist, so ist es auch in dem
angeblichen Gebiet a b enthalten.
Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in
dem fraglichen a b enthalten ist, so
ist es auch zugleich in a und in b
enthalten.		Zu Fig. 9+. Wenn a und zu-
gleich b ganz in einem Gebiete c
enthalten sind, so ist auch das an-
gebliche Gebiet a + b in diesem c
enthalten. Und umgekehrt, wenn
das problematische a + b in einem
Gebiete c enthalten ist, so ist
auch sowol a als b in diesem c ent-
halten.

Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo-
rem 6).

Zu Fig. 10×, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch
zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar,
welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber
auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten — cf. I sowie
Def. (2×), nach welchen beiden ja 0 ⋹ 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c
in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5×)
selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2×) dann auch in a sowie
in b enthalten.

Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders
gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0
ist — ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter
Faktorenzahl schon nicht mehr gilt — dieser Satz trifft im identischen
Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden,
ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber
auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die
Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben
erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [Formel 1] = 0 (für a
ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith-
metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde
bereits hervorgehoben.

In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6
abgeleiteten Formen der Def. (3).

Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und
nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über-
fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten
Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

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[215/0235] § 7. Deutung von a b, a + b als Gebiete. Vermögen wir nun dieses, so stimmt für die Anschauung die Probe des Teils (3)' sowol als die Probe des Teils (3)'' der Defi- nition (3): Zu Fig. 9×, Wenn irgend ein Gebiet c zugleich in a und b ent- halten ist, so ist es auch in dem angeblichen Gebiet a b enthalten. Desgl. umgekehrt: Wenn ein c in dem fraglichen a b enthalten ist, so ist es auch zugleich in a und in b enthalten. Zu Fig. 9+. Wenn a und zu- gleich b ganz in einem Gebiete c enthalten sind, so ist auch das an- gebliche Gebiet a + b in diesem c enthalten. Und umgekehrt, wenn das problematische a + b in einem Gebiete c enthalten ist, so ist auch sowol a als b in diesem c ent- halten. Vergl. auch Prinzip II und das hier unmittelbar evidente Theo- rem 6). Zu Fig. 10×, wo a und b keinen Punkt gemein haben, ist noch zu bemerken: Ausser dem Nullgebiete ist kein Gebiet c denkbar, welches zugleich in a und in b enthalten wäre; dies Gebiet 0 ist aber auch in a b (welches = 0 behauptet ist) enthalten — cf. I sowie Def. (2×), nach welchen beiden ja 0 ⋹ 0 gilt. Wenn umgekehrt ein c in dem a b, welches 0 ist, enthalten sein soll, so muss es nach Th. 5×) selbst 0 sein, und ist dasselbe nach Def. (2×) dann auch in a sowie in b enthalten. Man sieht: der Satz der Arithmetik, wonach ein Produkt nicht anders gleich 0 sein, verschwinden kann, als indem einer seiner Faktoren selbst 0 ist — ein Satz, der dort übrigens auch für Produkte von unbegrenzter Faktorenzahl schon nicht mehr gilt — dieser Satz trifft im identischen Kalkul überhaupt nicht zu. Hier kann vielmehr leicht a · b verschwinden, ohne dass a oder b selbst gleich 0 wäre, verschwände. Es ist dies aber auch ein Satz, der wesentlich nicht auf die Multiplikation, sondern auf die Division sich bezieht, indem bei ihm der Produktwert (= 0) als gegeben erscheint. Der Satz kommt in der That auf die Gleichung [FORMEL] = 0 (für a ungleich 0) hinaus, und dass die auf Division bezüglichen Sätze der Arith- metik sich zumeist nicht auf den identischen Kalkul übertragen, wurde bereits hervorgehoben. In gleicher Weise stimmt die Probe für jede andere der in § 6 abgeleiteten Formen der Def. (3). Die angegebenen Gebiete genügen also der Def. (3) wirklich und nach Vorangegangenem [cf. Th. 11) Zusatz] auch einzig. Zum Über- fluss vermöchte man bei jedem andern als a b resp. a + b vermuteten Gebiete leicht solche x nachzuweisen, für welche die Forderungen der

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 215. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/235>, abgerufen am 23.11.2024.