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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.

Prinzips, das in der That aus den beiden Voraussetzungen -- linkerhand
z. B. aus x a b und a b c -- unmittelbar uns die Behauptung liefert.

8x)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches x a b ist, auch x c sein muss, so wird	8+)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches a + b x ist, auch c x sein muss, so wird
a b c	c a + b

zu gelten haben.

Beweis. Nach I, nämlich wegen

a b a b,

a + b a + b,

ist ja dann a b resp. a + b selber ein zulässiger Wert des x. --

Hienach ist klar, dass wir definitionsweise zu sagen haben werden,
es sei

a b c, wenn für jedes x, welches
a b ist, auch x c sein wird.

c a + b, wenn für jedes x, wo-
für a + b x ist, auch c x
sein muss.

Ersetzen wir hierin die Forderung x a b resp. a + b x durch das-
jenige, was sie nach Def. (3) bedeutet, so erhalten wir folgende Fassung
der noch ausstehenden Definition, die, wenn man sie auch selbständig
als eine solche von vornherein hätte hinstellen können, doch dermalen
wesentlich wieder als Theorem zu bezeichnen ist.

9x) Theorem, auch zu citiren
als Definition (5x).

9+) Theorem, auch zu citiren
als Definition (5+).

Wenn für gegebene a, b ein solches c existirt, dass für jedes die
Bedingungen

x a, x b

a x, b x

bezüglich gleichzeitig erfüllende x auch stets

x c

c x

ist, so (d. h. immer dann und nur dann) ist zu sagen, es sei:

a b c.

c a + b.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 8x.

[Abbildung] Fig. 8+.

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.

Prinzips, das in der That aus den beiden Voraussetzungen — linkerhand
z. B. aus x ⋹ a b und a b ⋹ c — unmittelbar uns die Behauptung liefert.

8×)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches x ⋹ a b ist, auch x ⋹ c sein muss, so wird	8+)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches a + b ⋹ x ist, auch c ⋹ x sein muss, so wird
a b ⋹ c	c ⋹ a + b

zu gelten haben.

Beweis. Nach I, nämlich wegen

a b ⋹ a b,

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ist ja dann a b resp. a + b selber ein zulässiger Wert des x. —

Hienach ist klar, dass wir definitionsweise zu sagen haben werden,
es sei

a b ⋹ c, wenn für jedes x, welches
⋹ a b ist, auch x ⋹ c sein wird.

c ⋹ a + b, wenn für jedes x, wo-
für a + b ⋹ x ist, auch c ⋹ x
sein muss.

Ersetzen wir hierin die Forderung x ⋹ a b resp. a + b ⋹ x durch das-
jenige, was sie nach Def. (3) bedeutet, so erhalten wir folgende Fassung
der noch ausstehenden Definition, die, wenn man sie auch selbständig
als eine solche von vornherein hätte hinstellen können, doch dermalen
wesentlich wieder als Theorem zu bezeichnen ist.

9×) Theorem, auch zu citiren
als Definition (5×).

9+) Theorem, auch zu citiren
als Definition (5+).

Wenn für gegebene a, b ein solches c existirt, dass für jedes die
Bedingungen

x ⋹ a, x ⋹ b

a ⋹ x, b ⋹ x

bezüglich gleichzeitig erfüllende x auch stets

x ⋹ c

c ⋹ x

ist, so (d. h. immer dann und nur dann) ist zu sagen, es sei:

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[Abbildung] Fig. 8×.

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[205/0225] § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. Prinzips, das in der That aus den beiden Voraussetzungen — linkerhand z. B. aus x ⋹ a b und a b ⋹ c — unmittelbar uns die Behauptung liefert. 8×)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches x ⋹ a b ist, auch x ⋹ c sein muss, so wird 8+)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches a + b ⋹ x ist, auch c ⋹ x sein muss, so wird a b ⋹ c c ⋹ a + b zu gelten haben. Beweis. Nach I, nämlich wegen a b ⋹ a b, a + b ⋹ a + b, ist ja dann a b resp. a + b selber ein zulässiger Wert des x. — Hienach ist klar, dass wir definitionsweise zu sagen haben werden, es sei a b ⋹ c, wenn für jedes x, welches ⋹ a b ist, auch x ⋹ c sein wird. c ⋹ a + b, wenn für jedes x, wo- für a + b ⋹ x ist, auch c ⋹ x sein muss. Ersetzen wir hierin die Forderung x ⋹ a b resp. a + b ⋹ x durch das- jenige, was sie nach Def. (3) bedeutet, so erhalten wir folgende Fassung der noch ausstehenden Definition, die, wenn man sie auch selbständig als eine solche von vornherein hätte hinstellen können, doch dermalen wesentlich wieder als Theorem zu bezeichnen ist. 9×) Theorem, auch zu citiren als Definition (5×). 9+) Theorem, auch zu citiren als Definition (5+). Wenn für gegebene a, b ein solches c existirt, dass für jedes die Bedingungen x ⋹ a, x ⋹ b a ⋹ x, b ⋹ x bezüglich gleichzeitig erfüllende x auch stets x ⋹ c c ⋹ x ist, so (d. h. immer dann und nur dann) ist zu sagen, es sei: a b ⋹ c. c ⋹ a + b. [Abbildung] [Abbildung Fig. 8×.] [Abbildung Fig. 8+.]

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 205. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/225>, abgerufen am 27.04.2024.

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