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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dritte Vorlesung.
dass hinfort identische Multiplikation und Addition für ganz beliebige
Faktoren resp. Summanden a, b auch ausführbar werden.

Ohne diesen Umstand würde aber eine allgemeine Buchstaben-
rechnung nach einheitlichen Regeln nicht möglich sein.

Hätte z. B. das identische Produkt a · b sehr häufig keinen Sinn,
so könnte man keinen irgend Produkte enthaltenden Buchstaben-
ausdruck, unbekümmert um die Bedeutung oder die Werte der in ihm
vorkommenden Operationsglieder nach den Regeln des Kalkuls um-
formen. Man müsste vielmehr jedesmal erst zusehen, ob die etwaigen
Teilausdrücke (Ausdruckteile), sowie ob der ganze Ausdruck überhaupt
einen Sinn hat, und wäre genötigt, die Bedingungen dafür jederzeit
im Auge zu behalten, sie immerfort als "Gültigkeitsbedingungen"
weiterzuschleppen.

Ein eklatantes, und -- wie ich denke -- hinreichend abschreckendes
Beispiel einer derartigen unerquicklichen Sachlage wird uns weiter
unten der Kalkul der inversen Operationen, werden uns die Gesetze
der identischen Subtraktion und Division in § 23 liefern, deren Be-
folgung aber, wie schon erwähnt, zum Glück entbehrlich bleibt.

Wenn nun also durch eine so einfache Übereinkunft, als welche
die Def. (2) erscheint, wenn namentlich durch die Einführung der
identischen Null mittelst Def. (2x), ein derartiger Erfolg sich erzielen
lässt, dass durch sie erst ein einheitliches Schliessen und Rechnen
nach unumschränkt allgemein gültigen Regeln ermöglicht wird -- so
ist dieser Umstand ein hinreichendes Motiv dafür, diese Einführung
zu vollziehen, so rechtfertigt dieser Erfolg wenigstens nachträglich die
seiner Zeit bei Aufstellung der Def. (2) anscheinend bethätigte Willkür.

Damit der Leser auch bei den im nächsten Paragraphen folgenden
teilweise subtileren Betrachtungen die Veranschaulichung durch die bei-
gegebenen Figuren alsbald verstehen könne, sei wiederum vorgreifend gleich
hier bemerkt, dass a b das den Gebieten a und b gemeinsame Gebiet vor-
stellen wird, dass aber, wenn ein solches nicht vorhanden, dem Produkt
a b der Wert 0 zuzuschreiben ist; desgl. wird a + b dasjenige Gebiet be-
deuten, in welches a und b zusammenfliessen -- so wie es, weiter unten
§ 7, für Kreisflächen a und b die Figuren 9x und 9+ schraffirt aufweisen.
Es braucht hienach der Leitfaden der Anschauung nirgends verlassen zu
werden.

Wir bringen aber im Systeme die Veranschaulichungen absichtlich erst
später, um eben die Anschauung nicht sofort zur Führerin bei den grund-
legenden Betrachtungen werden zu lassen, vielmehr derselben die Herr-
schaft vorzuenthalten und den rein analytischen Charakter, die formelle
Strenge der auszuführenden Schlüsse in den Vordergrund der Aufmerksam-
keit des Lesers zu rücken, um diesen die ihnen gebührende Beachtung zu
sichern.

Dritte Vorlesung.
dass hinfort identische Multiplikation und Addition für ganz beliebige
Faktoren resp. Summanden a, b auch ausführbar werden.

Ohne diesen Umstand würde aber eine allgemeine Buchstaben-
rechnung nach einheitlichen Regeln nicht möglich sein.

Hätte z. B. das identische Produkt a · b sehr häufig keinen Sinn,
so könnte man keinen irgend Produkte enthaltenden Buchstaben-
ausdruck, unbekümmert um die Bedeutung oder die Werte der in ihm
vorkommenden Operationsglieder nach den Regeln des Kalkuls um-
formen. Man müsste vielmehr jedesmal erst zusehen, ob die etwaigen
Teilausdrücke (Ausdruckteile), sowie ob der ganze Ausdruck überhaupt
einen Sinn hat, und wäre genötigt, die Bedingungen dafür jederzeit
im Auge zu behalten, sie immerfort als „Gültigkeitsbedingungen“
weiterzuschleppen.

Ein eklatantes, und — wie ich denke — hinreichend abschreckendes
Beispiel einer derartigen unerquicklichen Sachlage wird uns weiter
unten der Kalkul der inversen Operationen, werden uns die Gesetze
der identischen Subtraktion und Division in § 23 liefern, deren Be-
folgung aber, wie schon erwähnt, zum Glück entbehrlich bleibt.

Wenn nun also durch eine so einfache Übereinkunft, als welche
die Def. (2) erscheint, wenn namentlich durch die Einführung der
identischen Null mittelst Def. (2×), ein derartiger Erfolg sich erzielen
lässt, dass durch sie erst ein einheitliches Schliessen und Rechnen
nach unumschränkt allgemein gültigen Regeln ermöglicht wird — so
ist dieser Umstand ein hinreichendes Motiv dafür, diese Einführung
zu vollziehen, so rechtfertigt dieser Erfolg wenigstens nachträglich die
seiner Zeit bei Aufstellung der Def. (2) anscheinend bethätigte Willkür.

Damit der Leser auch bei den im nächsten Paragraphen folgenden
teilweise subtileren Betrachtungen die Veranschaulichung durch die bei-
gegebenen Figuren alsbald verstehen könne, sei wiederum vorgreifend gleich
hier bemerkt, dass a b das den Gebieten a und b gemeinsame Gebiet vor-
stellen wird, dass aber, wenn ein solches nicht vorhanden, dem Produkt
a b der Wert 0 zuzuschreiben ist; desgl. wird a + b dasjenige Gebiet be-
deuten, in welches a und b zusammenfliessen — so wie es, weiter unten
§ 7, für Kreisflächen a und b die Figuren 9× und 9+ schraffirt aufweisen.
Es braucht hienach der Leitfaden der Anschauung nirgends verlassen zu
werden.

Wir bringen aber im Systeme die Veranschaulichungen absichtlich erst
später, um eben die Anschauung nicht sofort zur Führerin bei den grund-
legenden Betrachtungen werden zu lassen, vielmehr derselben die Herr-
schaft vorzuenthalten und den rein analytischen Charakter, die formelle
Strenge der auszuführenden Schlüsse in den Vordergrund der Aufmerksam-
keit des Lesers zu rücken, um diesen die ihnen gebührende Beachtung zu
sichern.

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[198/0218] Dritte Vorlesung. dass hinfort identische Multiplikation und Addition für ganz beliebige Faktoren resp. Summanden a, b auch ausführbar werden. Ohne diesen Umstand würde aber eine allgemeine Buchstaben- rechnung nach einheitlichen Regeln nicht möglich sein. Hätte z. B. das identische Produkt a · b sehr häufig keinen Sinn, so könnte man keinen irgend Produkte enthaltenden Buchstaben- ausdruck, unbekümmert um die Bedeutung oder die Werte der in ihm vorkommenden Operationsglieder nach den Regeln des Kalkuls um- formen. Man müsste vielmehr jedesmal erst zusehen, ob die etwaigen Teilausdrücke (Ausdruckteile), sowie ob der ganze Ausdruck überhaupt einen Sinn hat, und wäre genötigt, die Bedingungen dafür jederzeit im Auge zu behalten, sie immerfort als „Gültigkeitsbedingungen“ weiterzuschleppen. Ein eklatantes, und — wie ich denke — hinreichend abschreckendes Beispiel einer derartigen unerquicklichen Sachlage wird uns weiter unten der Kalkul der inversen Operationen, werden uns die Gesetze der identischen Subtraktion und Division in § 23 liefern, deren Be- folgung aber, wie schon erwähnt, zum Glück entbehrlich bleibt. Wenn nun also durch eine so einfache Übereinkunft, als welche die Def. (2) erscheint, wenn namentlich durch die Einführung der identischen Null mittelst Def. (2×), ein derartiger Erfolg sich erzielen lässt, dass durch sie erst ein einheitliches Schliessen und Rechnen nach unumschränkt allgemein gültigen Regeln ermöglicht wird — so ist dieser Umstand ein hinreichendes Motiv dafür, diese Einführung zu vollziehen, so rechtfertigt dieser Erfolg wenigstens nachträglich die seiner Zeit bei Aufstellung der Def. (2) anscheinend bethätigte Willkür. Damit der Leser auch bei den im nächsten Paragraphen folgenden teilweise subtileren Betrachtungen die Veranschaulichung durch die bei- gegebenen Figuren alsbald verstehen könne, sei wiederum vorgreifend gleich hier bemerkt, dass a b das den Gebieten a und b gemeinsame Gebiet vor- stellen wird, dass aber, wenn ein solches nicht vorhanden, dem Produkt a b der Wert 0 zuzuschreiben ist; desgl. wird a + b dasjenige Gebiet be- deuten, in welches a und b zusammenfliessen — so wie es, weiter unten § 7, für Kreisflächen a und b die Figuren 9× und 9+ schraffirt aufweisen. Es braucht hienach der Leitfaden der Anschauung nirgends verlassen zu werden. Wir bringen aber im Systeme die Veranschaulichungen absichtlich erst später, um eben die Anschauung nicht sofort zur Führerin bei den grund- legenden Betrachtungen werden zu lassen, vielmehr derselben die Herr- schaft vorzuenthalten und den rein analytischen Charakter, die formelle Strenge der auszuführenden Schlüsse in den Vordergrund der Aufmerksam- keit des Lesers zu rücken, um diesen die ihnen gebührende Beachtung zu sichern.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 198. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/218>, abgerufen am 27.04.2024.