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Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

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d Av = Md d th,
und es ergiebt sich die virtuelle Formänderungs-Arbeit des ganzen Stabes
Av = integral Md d th.

Die Arbeitsgleichung lautet mit den auf Seite 7 erklärten Bezeich-
nungen P, C, d, D c:
(133) S P d + S C D c = integral Md d th;
sie gilt im Falle des Gleichgewichtes zwischen den äusseren und inneren
Kräften für beliebige, verschwindend kleine, zusammengehörige Form-
änderungen und kann in derselben Weise wie die entsprechenden Arbeits-
gleichungen der Abschnitte I und II benutzt werden, um statisch nicht
bestimmbare Grössen X und Verschiebungen d zu ermitteln. Die theil-
weise Differentiation von Gleich. 133 nach einer Grösse X oder einer
Last P führt zu den Beziehungen
(134) [Formel 1] und
(135) [Formel 2] ,
wobei die Lasten P und die Grössen X als unabhängige Veränderliche
aufzufassen sind. L bedeutet, wie früher, die virtuelle Arbeit der Auf-
lagerkräfte für den Zustand X = 1.

4) Zusammensetzung von Drehungs- und Biegungs-Festigkeit.
Die Gleichungen (134) und (135) eignen sich besonders für die Be-
urtheilung des Einflusses der Drehungsmomente in Fällen gleichzeitiger
Beanspruchung auf Drehungs- und Biegungs-Festigkeit, namentlich für
die Untersuchung von Stäben kreisförmigen Querschnitts, die bei beliebiger
Gestalt der Mittellinie durch irgend welche Kräfte belastet werden.

Ist die Mittellinie des Stabes eine Kurve doppelter Krümmung, so
beziehe man den Querschnitt auf rechtwinklige Koordinatenachsen (u, v)
und lasse die v-Achse mit dem Krümmungsradius (d. h. also mit der
Hauptnormale) zusammenfallen; die u-Achse steht dann senkrecht zur
Schmiegungsebene und deckt sich mit der Binormale. Nun denke man
den Stab durch den fraglichen Querschnitt in zwei Theile zerlegt, ersetze
die Mittelkraft R der auf den einen der beiden Theile wirkenden äusseren
Kräfte durch die aufeinander senkrechten Seitenkräfte:
N (Längskraft) senkrecht zur Querschnittsebene,
Qu (Querkraft) parallel der u-Achse,
Qv " " " v-Achse
und bestimme die von der Kraft R ausgeübten Momente:
Md, in Bezug auf eine zum Querschnitte senkrechte Achse,
Mu, " " " die u-Achse,
Mv, " " " " v-Achse.

d Av = Md d ϑ,
und es ergiebt sich die virtuelle Formänderungs-Arbeit des ganzen Stabes
Av = ∫ Md d ϑ.

Die Arbeitsgleichung lautet mit den auf Seite 7 erklärten Bezeich-
nungen P, C, δ, Δ c:
(133) Σ P δ + Σ C Δ c = ∫ Md d ϑ;
sie gilt im Falle des Gleichgewichtes zwischen den äusseren und inneren
Kräften für beliebige, verschwindend kleine, zusammengehörige Form-
änderungen und kann in derselben Weise wie die entsprechenden Arbeits-
gleichungen der Abschnitte I und II benutzt werden, um statisch nicht
bestimmbare Grössen X und Verschiebungen δ zu ermitteln. Die theil-
weise Differentiation von Gleich. 133 nach einer Grösse X oder einer
Last P führt zu den Beziehungen
(134) [Formel 1] und
(135) [Formel 2] ,
wobei die Lasten P und die Grössen X als unabhängige Veränderliche
aufzufassen sind. L bedeutet, wie früher, die virtuelle Arbeit der Auf-
lagerkräfte für den Zustand X = 1.

4) Zusammensetzung von Drehungs- und Biegungs-Festigkeit.
Die Gleichungen (134) und (135) eignen sich besonders für die Be-
urtheilung des Einflusses der Drehungsmomente in Fällen gleichzeitiger
Beanspruchung auf Drehungs- und Biegungs-Festigkeit, namentlich für
die Untersuchung von Stäben kreisförmigen Querschnitts, die bei beliebiger
Gestalt der Mittellinie durch irgend welche Kräfte belastet werden.

Ist die Mittellinie des Stabes eine Kurve doppelter Krümmung, so
beziehe man den Querschnitt auf rechtwinklige Koordinatenachsen (u, v)
und lasse die v-Achse mit dem Krümmungsradius (d. h. also mit der
Hauptnormale) zusammenfallen; die u-Achse steht dann senkrecht zur
Schmiegungsebene und deckt sich mit der Binormale. Nun denke man
den Stab durch den fraglichen Querschnitt in zwei Theile zerlegt, ersetze
die Mittelkraft R der auf den einen der beiden Theile wirkenden äusseren
Kräfte durch die aufeinander senkrechten Seitenkräfte:
N (Längskraft) senkrecht zur Querschnittsebene,
Qu (Querkraft) parallel der u-Achse,
Qv „ „ „ v-Achse
und bestimme die von der Kraft R ausgeübten Momente:
Md, in Bezug auf eine zum Querschnitte senkrechte Achse,
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[162/0174] d Av = Md d ϑ, und es ergiebt sich die virtuelle Formänderungs-Arbeit des ganzen Stabes Av = ∫ Md d ϑ. Die Arbeitsgleichung lautet mit den auf Seite 7 erklärten Bezeich- nungen P, C, δ, Δ c: (133) Σ P δ + Σ C Δ c = ∫ Md d ϑ; sie gilt im Falle des Gleichgewichtes zwischen den äusseren und inneren Kräften für beliebige, verschwindend kleine, zusammengehörige Form- änderungen und kann in derselben Weise wie die entsprechenden Arbeits- gleichungen der Abschnitte I und II benutzt werden, um statisch nicht bestimmbare Grössen X und Verschiebungen δ zu ermitteln. Die theil- weise Differentiation von Gleich. 133 nach einer Grösse X oder einer Last P führt zu den Beziehungen (134) [FORMEL] und (135) [FORMEL], wobei die Lasten P und die Grössen X als unabhängige Veränderliche aufzufassen sind. L bedeutet, wie früher, die virtuelle Arbeit der Auf- lagerkräfte für den Zustand X = 1. 4) Zusammensetzung von Drehungs- und Biegungs-Festigkeit. Die Gleichungen (134) und (135) eignen sich besonders für die Be- urtheilung des Einflusses der Drehungsmomente in Fällen gleichzeitiger Beanspruchung auf Drehungs- und Biegungs-Festigkeit, namentlich für die Untersuchung von Stäben kreisförmigen Querschnitts, die bei beliebiger Gestalt der Mittellinie durch irgend welche Kräfte belastet werden. Ist die Mittellinie des Stabes eine Kurve doppelter Krümmung, so beziehe man den Querschnitt auf rechtwinklige Koordinatenachsen (u, v) und lasse die v-Achse mit dem Krümmungsradius (d. h. also mit der Hauptnormale) zusammenfallen; die u-Achse steht dann senkrecht zur Schmiegungsebene und deckt sich mit der Binormale. Nun denke man den Stab durch den fraglichen Querschnitt in zwei Theile zerlegt, ersetze die Mittelkraft R der auf den einen der beiden Theile wirkenden äusseren Kräfte durch die aufeinander senkrechten Seitenkräfte: N (Längskraft) senkrecht zur Querschnittsebene, Qu (Querkraft) parallel der u-Achse, Qv „ „ „ v-Achse und bestimme die von der Kraft R ausgeübten Momente: Md, in Bezug auf eine zum Querschnitte senkrechte Achse, Mu, „ „ „ die u-Achse, Mv, „ „ „ „ v-Achse.

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Zitationshilfe: Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 162. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/174>, abgerufen am 02.05.2024.