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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
oben. Man kann diese beiden Richtungen, wie es in
den folgenden Beispielen geschehen ist, durch die Vor-
zeichen -- und + von einander unterscheiden.

Es ist zu empfehlen, die Bestimmung der Grössen
der Belastungen K1 und K2 von der Länge a, welche
sehr häufig auf der Zeichnung nicht mit der erwünsch-
ten Genauigkeit gemessen werden kann, unabhängig zu
machen. Es geschieht dies, indem man die Gerade
D L parallel zu C G zieht und die beiden Abstände a1
und a2 der Punkte G und L von dem betrachteten
Konstruktionstheil C D misst. Denn offenbar ist:
19) [Formel 1]

Die vorstehenden Regeln lassen sich nicht ohne
Weiteres anwenden, wenn jeder Schnitt durch den be-
trachteten Konstruktionstheil entweder mehr oder weni-
ger als zwei andere Theile trifft. In Figur 34 sind
alle Formen dieses Ausnahmefalles, welche für den
vorliegenden Zweck in Betracht zu ziehen sind, dar-
gestellt, und zwar beziehen sich dieselben auf die Kon-
struktionstheile 2, 7, 11 und 16. Schaltet man, ohne
im Uebrigen die Form des Fachwerks zu verändern,
statt der Knotenpunkte A, B, C, D Gurtungstheile A A,
B B, C C, D D (Fig. 35) von unendlich kleiner Länge
ein und ertheilt man z. B. jedem der beiden Theile
7 und 7a in Figur 35 dieselbe Längenänderung D l wie
dem Theil 7 in Figur 34, so wird die Formverände-
rung des Fachwerks in beiden Fällen offenbar genau
dieselbe sein. Auf das Fachwerk (Fig. 35) lassen sich
aber die oben entwickelten Regeln anwenden, und es
ist also hierdurch der Ausnahmefall auf die regelmässige
Behandlung der Aufgabe zurückgeführt.

[Abbildung] Fig. 34.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 35.
[Abbildung]

Zur Vereinfachung der Darstellung wurden bis
jetzt nur diejenigen Durchbiegungen in Betracht ge-
zogen, welche von der Längenänderung eines einzigen
Konstruktionstheils hervorgerufen werden. Wenn statt
dessen die Formveränderung des Fachwerks durch die
Längenänderungen einer beliebigen Anzahl oder aller
Konstruktionstheile herbeigeführt wird, so ergibt sich,
indem man eine bekannte Eigenschaft des Seilpolygons
zur Anwendung bringt, das Biegungspolygon, wenn
man nach den vorstehenden Regeln die Belastungen K
[Spaltenumbruch] oder K1 und K2 für alle Konstruktionstheile bestimmt
und das Seilpolygon dieser sämmtlichen Belastungen
konstruirt.

Die im Vorstehenden beschriebene Konstruktion des
Biegungspolygons wird, wenn es sich nur um die Durch-
biegung eines bestimmten Knotenpunktes für einen ein-
zelnen Belastungsfall handelt, im Vergleich mit der
Berechnung der Durchbiegung nach der Gleichung 2
keine Vortheile gewähren. Der Nutzen des graphischen
Verfahrens ergibt sich erst durch die Anwendung der
folgenden Beziehung:

Sind C und D zwei beliebige Knotenpunkte des
Fachwerks, so ist die Durchbiegung des Knotenpunktes
C, welche von einer Belastung P des Knotenpunktes D
hervorgerufen wird, genau so gross wie die Durchbie-
gung des Knotenpunktes D in Folge derselben Bela-
stung des Knotenpunktes C. Der Beweis für die
Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fast unmittel-
bar aus der Gleichung 2. Denn bezeichnet man die
Werthe von u für den Knotenpunkt C mit u1 und für
den Knotenpunkt D mit u2, so erzeugt die Belastung P
des Knotenpunktes D Spannungen der Konstruktions-
theile von der Grösse
[Formel 2] also elastische Längenänderungen
[Formel 3] und in Folge dessen eine Durchbiegung des Knoten-
punktes C von der Grösse:
[Formel 4]

Ist dagegen der Knotenpunkt C mit P belastet, so
wird
[Formel 5] und die Durchbiegung des Knotenpunktes D
[Formel 6] also eben so gross, wie die Durchbiegung des Punktes
C im ersten Falle.

Bezeichnet man demnach mit (Fig. 37 auf Bl. 614)
y1, y2, y3 .... diejenigen Durchbiegungen, welche die
Knotenpunkte I, II, III .... des Fachwerks (Fig. 36)
erleiden, wenn ein bestimmter Knotenpunkt z. B. VI
mit dem Gewichte R belastet ist, so ergibt sich für
den Fall, in welchem die Knotenpunkte I, II, III ....
mit P1, P2, P3 .... belastet sind, die Durchbiegung y
des Knotenpunktes VI aus der Formel:
20) [Formel 7]

Wenn die Belastungen P1, P2, P3... nicht in den
Knotenpunkten I, II, III ... angebracht sind, sondern
an beliebigen Stellen zwischen jenen Punkten auf den
Fahrbahnträger einwirken, so ist es für die Anwendung
der Gleichung 20) nicht erforderlich, die Belastungen
auf die Knotenpunkte zu vertheilen, sondern man ge-
langt auf einfacherem Wege zu demselben Resultat,
wenn man bei der Bildung der Summe S P · y jede
Belastung P ohne Weiteres mit der in ihrer Vertikalen
zu messenden Ordinate y des Biegungspolygons multi-

[Spaltenumbruch]

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
oben. Man kann diese beiden Richtungen, wie es in
den folgenden Beispielen geschehen ist, durch die Vor-
zeichen — und + von einander unterscheiden.

Es ist zu empfehlen, die Bestimmung der Grössen
der Belastungen K1 und K2 von der Länge a, welche
sehr häufig auf der Zeichnung nicht mit der erwünsch-
ten Genauigkeit gemessen werden kann, unabhängig zu
machen. Es geschieht dies, indem man die Gerade
D L parallel zu C G zieht und die beiden Abstände a1
und a2 der Punkte G und L von dem betrachteten
Konstruktionstheil C D misst. Denn offenbar ist:
19) [Formel 1]

Die vorstehenden Regeln lassen sich nicht ohne
Weiteres anwenden, wenn jeder Schnitt durch den be-
trachteten Konstruktionstheil entweder mehr oder weni-
ger als zwei andere Theile trifft. In Figur 34 sind
alle Formen dieses Ausnahmefalles, welche für den
vorliegenden Zweck in Betracht zu ziehen sind, dar-
gestellt, und zwar beziehen sich dieselben auf die Kon-
struktionstheile 2, 7, 11 und 16. Schaltet man, ohne
im Uebrigen die Form des Fachwerks zu verändern,
statt der Knotenpunkte A, B, C, D Gurtungstheile A A,
B B, C C, D D (Fig. 35) von unendlich kleiner Länge
ein und ertheilt man z. B. jedem der beiden Theile
7 und 7a in Figur 35 dieselbe Längenänderung Δ l wie
dem Theil 7 in Figur 34, so wird die Formverände-
rung des Fachwerks in beiden Fällen offenbar genau
dieselbe sein. Auf das Fachwerk (Fig. 35) lassen sich
aber die oben entwickelten Regeln anwenden, und es
ist also hierdurch der Ausnahmefall auf die regelmässige
Behandlung der Aufgabe zurückgeführt.

[Abbildung] Fig. 34.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 35.
[Abbildung]

Zur Vereinfachung der Darstellung wurden bis
jetzt nur diejenigen Durchbiegungen in Betracht ge-
zogen, welche von der Längenänderung eines einzigen
Konstruktionstheils hervorgerufen werden. Wenn statt
dessen die Formveränderung des Fachwerks durch die
Längenänderungen einer beliebigen Anzahl oder aller
Konstruktionstheile herbeigeführt wird, so ergibt sich,
indem man eine bekannte Eigenschaft des Seilpolygons
zur Anwendung bringt, das Biegungspolygon, wenn
man nach den vorstehenden Regeln die Belastungen K
[Spaltenumbruch] oder K1 und K2 für alle Konstruktionstheile bestimmt
und das Seilpolygon dieser sämmtlichen Belastungen
konstruirt.

Die im Vorstehenden beschriebene Konstruktion des
Biegungspolygons wird, wenn es sich nur um die Durch-
biegung eines bestimmten Knotenpunktes für einen ein-
zelnen Belastungsfall handelt, im Vergleich mit der
Berechnung der Durchbiegung nach der Gleichung 2
keine Vortheile gewähren. Der Nutzen des graphischen
Verfahrens ergibt sich erst durch die Anwendung der
folgenden Beziehung:

Sind C und D zwei beliebige Knotenpunkte des
Fachwerks, so ist die Durchbiegung des Knotenpunktes
C, welche von einer Belastung P des Knotenpunktes D
hervorgerufen wird, genau so gross wie die Durchbie-
gung des Knotenpunktes D in Folge derselben Bela-
stung des Knotenpunktes C. Der Beweis für die
Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fast unmittel-
bar aus der Gleichung 2. Denn bezeichnet man die
Werthe von u für den Knotenpunkt C mit u1 und für
den Knotenpunkt D mit u2, so erzeugt die Belastung P
des Knotenpunktes D Spannungen der Konstruktions-
theile von der Grösse
[Formel 2] also elastische Längenänderungen
[Formel 3] und in Folge dessen eine Durchbiegung des Knoten-
punktes C von der Grösse:
[Formel 4]

Ist dagegen der Knotenpunkt C mit P belastet, so
wird
[Formel 5] und die Durchbiegung des Knotenpunktes D
[Formel 6] also eben so gross, wie die Durchbiegung des Punktes
C im ersten Falle.

Bezeichnet man demnach mit (Fig. 37 auf Bl. 614)
y1, y2, y3 .... diejenigen Durchbiegungen, welche die
Knotenpunkte I, II, III .... des Fachwerks (Fig. 36)
erleiden, wenn ein bestimmter Knotenpunkt z. B. VI
mit dem Gewichte R belastet ist, so ergibt sich für
den Fall, in welchem die Knotenpunkte I, II, III ....
mit P1, P2, P3 .... belastet sind, die Durchbiegung y
des Knotenpunktes VI aus der Formel:
20) [Formel 7]

Wenn die Belastungen P1, P2, P3… nicht in den
Knotenpunkten I, II, III … angebracht sind, sondern
an beliebigen Stellen zwischen jenen Punkten auf den
Fahrbahnträger einwirken, so ist es für die Anwendung
der Gleichung 20) nicht erforderlich, die Belastungen
auf die Knotenpunkte zu vertheilen, sondern man ge-
langt auf einfacherem Wege zu demselben Resultat,
wenn man bei der Bildung der Summe Σ P · y jede
Belastung P ohne Weiteres mit der in ihrer Vertikalen
zu messenden Ordinate y des Biegungspolygons multi-

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[0018] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. oben. Man kann diese beiden Richtungen, wie es in den folgenden Beispielen geschehen ist, durch die Vor- zeichen — und + von einander unterscheiden. Es ist zu empfehlen, die Bestimmung der Grössen der Belastungen K1 und K2 von der Länge a, welche sehr häufig auf der Zeichnung nicht mit der erwünsch- ten Genauigkeit gemessen werden kann, unabhängig zu machen. Es geschieht dies, indem man die Gerade D L parallel zu C G zieht und die beiden Abstände a1 und a2 der Punkte G und L von dem betrachteten Konstruktionstheil C D misst. Denn offenbar ist: 19) [FORMEL] Die vorstehenden Regeln lassen sich nicht ohne Weiteres anwenden, wenn jeder Schnitt durch den be- trachteten Konstruktionstheil entweder mehr oder weni- ger als zwei andere Theile trifft. In Figur 34 sind alle Formen dieses Ausnahmefalles, welche für den vorliegenden Zweck in Betracht zu ziehen sind, dar- gestellt, und zwar beziehen sich dieselben auf die Kon- struktionstheile 2, 7, 11 und 16. Schaltet man, ohne im Uebrigen die Form des Fachwerks zu verändern, statt der Knotenpunkte A, B, C, D Gurtungstheile A A, B B, C C, D D (Fig. 35) von unendlich kleiner Länge ein und ertheilt man z. B. jedem der beiden Theile 7 und 7a in Figur 35 dieselbe Längenänderung Δ l wie dem Theil 7 in Figur 34, so wird die Formverände- rung des Fachwerks in beiden Fällen offenbar genau dieselbe sein. Auf das Fachwerk (Fig. 35) lassen sich aber die oben entwickelten Regeln anwenden, und es ist also hierdurch der Ausnahmefall auf die regelmässige Behandlung der Aufgabe zurückgeführt. [Abbildung Fig. 34. ] [Abbildung] [Abbildung Fig. 35. ] [Abbildung] Zur Vereinfachung der Darstellung wurden bis jetzt nur diejenigen Durchbiegungen in Betracht ge- zogen, welche von der Längenänderung eines einzigen Konstruktionstheils hervorgerufen werden. Wenn statt dessen die Formveränderung des Fachwerks durch die Längenänderungen einer beliebigen Anzahl oder aller Konstruktionstheile herbeigeführt wird, so ergibt sich, indem man eine bekannte Eigenschaft des Seilpolygons zur Anwendung bringt, das Biegungspolygon, wenn man nach den vorstehenden Regeln die Belastungen K oder K1 und K2 für alle Konstruktionstheile bestimmt und das Seilpolygon dieser sämmtlichen Belastungen konstruirt. Die im Vorstehenden beschriebene Konstruktion des Biegungspolygons wird, wenn es sich nur um die Durch- biegung eines bestimmten Knotenpunktes für einen ein- zelnen Belastungsfall handelt, im Vergleich mit der Berechnung der Durchbiegung nach der Gleichung 2 keine Vortheile gewähren. Der Nutzen des graphischen Verfahrens ergibt sich erst durch die Anwendung der folgenden Beziehung: Sind C und D zwei beliebige Knotenpunkte des Fachwerks, so ist die Durchbiegung des Knotenpunktes C, welche von einer Belastung P des Knotenpunktes D hervorgerufen wird, genau so gross wie die Durchbie- gung des Knotenpunktes D in Folge derselben Bela- stung des Knotenpunktes C. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fast unmittel- bar aus der Gleichung 2. Denn bezeichnet man die Werthe von u für den Knotenpunkt C mit u1 und für den Knotenpunkt D mit u2, so erzeugt die Belastung P des Knotenpunktes D Spannungen der Konstruktions- theile von der Grösse [FORMEL] also elastische Längenänderungen [FORMEL] und in Folge dessen eine Durchbiegung des Knoten- punktes C von der Grösse: [FORMEL] Ist dagegen der Knotenpunkt C mit P belastet, so wird [FORMEL] und die Durchbiegung des Knotenpunktes D [FORMEL] also eben so gross, wie die Durchbiegung des Punktes C im ersten Falle. Bezeichnet man demnach mit (Fig. 37 auf Bl. 614) y1, y2, y3 .... diejenigen Durchbiegungen, welche die Knotenpunkte I, II, III .... des Fachwerks (Fig. 36) erleiden, wenn ein bestimmter Knotenpunkt z. B. VI mit dem Gewichte R belastet ist, so ergibt sich für den Fall, in welchem die Knotenpunkte I, II, III .... mit P1, P2, P3 .... belastet sind, die Durchbiegung y des Knotenpunktes VI aus der Formel: 20) [FORMEL] Wenn die Belastungen P1, P2, P3… nicht in den Knotenpunkten I, II, III … angebracht sind, sondern an beliebigen Stellen zwischen jenen Punkten auf den Fahrbahnträger einwirken, so ist es für die Anwendung der Gleichung 20) nicht erforderlich, die Belastungen auf die Knotenpunkte zu vertheilen, sondern man ge- langt auf einfacherem Wege zu demselben Resultat, wenn man bei der Bildung der Summe Σ P · y jede Belastung P ohne Weiteres mit der in ihrer Vertikalen zu messenden Ordinate y des Biegungspolygons multi-

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38, S. . In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk02_1875/18>, abgerufen am 25.11.2024.