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Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38.

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
demnach die Grösse u · D l an, wenn man auf den
Knotenpunkt E anstatt der Belastung Eins die Last
[Formel 1] einwirken lässt. Die in Rede stehende Aufgabe ist
hierdurch auf folgende zurückgeführt: Eine Belastung
[Formel 2] nimmt nach einander die sämmtlichen durch die
Knotenpunkte der unteren Gurtung bestimmten Lagen
an; es ist für jede Lage dieser Last die Grösse u · D l
des Moments der links vom Schnitt F F liegenden
Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt J zu bestimmen.
Diese Aufgabe wird nach dem Obigen auf graphischem
Wege gelöst, indem man zwischen den Knotenpunkten
G und D, welche den geschnittenen Theil G D der
unteren Gurtung begrenzen, Vertikalkräfte K1, K2 ...
anbringt, deren Mittelkraft von der Grösse [Formel 3] durch
den Punkt J geht, und wenn man alsdann die von
jenen Belastungen erzeugten Biegungsmomente vermit-
telst eines Seilpolygons konstruirt. Dieses Seilpolygon
ist das verlangte Biegungspolygon und zwar steht der
Massstab der Abscissen zum Massstab der Durchbie-
gungen in demselben Verhältnisse, wie der Horizontal-
zug oder die Poldistanz des Seilpolygons zu Eins. Ist
also z. B. der Massstab der Abscissen 1 : 1000, so hat
man die Poldistanz gleich 0,001 aufzutragen, um die
Durchbiegungen in natürlicher Grösse zu konstruiren.

In Bezug auf die Richtungen der Belastungen K
ist zunächst daran zu erinnern, dass in der Gleichung
[Formel 4] die Grössen positive Werthe haben, wenn D y eine
Hebung des betreffenden Knotenpunktes, u eine Zug-
spannung und D l eine Verlängerung des betrach-
teten Konstruktionstheils C D bezeichnet; sie sind da-
gegen negativ, wenn D y eine Senkung, u eine
Druckspannung und D l eine Verkürzung darstellt.
Die Durchbiegung eines Knotenpunktes hat demnach
die Richtung nach unten oder nach oben, je nachdem
D l und das auf den Knotenpunkt bezügliche u gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es ist
zweckmässig, bei der Konstruktion des Biegungspolygons
die Lage des Pols im Kräftepolygon so zu wählen,
dass die Durchbiegungen in Bezug auf die Schlusslinie
dieselbe Richtung -- nach oben oder unten -- erhalten
wie die erzeugende Belastung K. Unter dieser Voraus-
setzung ergeben sich folgende Regeln:

Gehört der betrachtete Konstruktionstheil C D (Fi-
gur 30) einer der beiden Gurtungen an, so kann die
Belastung

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 30.
[Abbildung] Fig. 31.
[Spaltenumbruch] [Formel 5] unmittelbar in der Vertikalen des Momentenpunktes J
angebracht werden, und zwar ist K nach unten oder
nach oben gerichtet, je nachdem u und D l gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben; hierbei
ist zu beachten, dass alle Werthe von u für jeden Theil
der unteren Gurtung positiv und für jeden Theil
der oberen Gurtung negativ sind.

Ist dagegen der betrachtete Konstruktionstheil C D
ein Füllungstheil (Fig. 32), so muss, weil der Mo-

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 32.
[Abbildung] Fig. 33.
mentenpunkt J nicht zwischen G und D liegt, die
Mittelkraft K in zwei Kräfte K1 und K2 zerlegt wer-
den, die man zweckmässig in den Endpunkten G
und D des vom Schnitt F F getroffenen unteren Gur-
tungstheils anbringt. Die Belastungen K1 und K2 zu
beiden Seiten des Schnittes F F haben immer entge-
gengesetzte Richtungen, und zwar ist die Belastung
nach unten gerichtet auf derjenigen Seite des Schnit-
tes, auf welcher Spannungen u von demselben Vor-
zeichen wie D l erzeugt werden. Hierbei ist zu beach-
ten, dass der Schnitt F F das Fachwerk in zwei Theile
zerlegt, von welchen der eine den oberen Knotenpunkt
C und der andere den unteren Knotenpunkt D des
betrachteten Füllungstheils C D enthält, und dass alle
Belastungen des erstgenannten Trägertheils negative,
dagegen alle Belastungen des letztgenannten Träger-
theils positive Spannungen u hervorrufen. Es ergibt
sich hiernach folgendes Verfahren: man versehe den
oberen Knotenpunkt des Füllungstheils (Figur 32) mit
dem Zeichen --, den unteren mit dem Zeichen + und
den Füllungstheil selbst mit dem Vorzeichen von D l.
Für Figur 32 ist beispielsweise eine Verkürzung des
Füllungstheils C D angenommen und derselbe demge-
mäss mit -- bezeichnet. Auf derjenigen Seite des
Schnittes F F, auf welcher das Vorzeichen des Knoten-
punktes mit dem Vorzeichen des Füllungstheils über-
einstimmt, hat die Belastung des Biegungspolygons
-- in Figur 33 die Belastung K1 -- die Richtung nach
unten und auf der anderen Seite die Richtung nach

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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
demnach die Grösse u · Δ l an, wenn man auf den
Knotenpunkt E anstatt der Belastung Eins die Last
[Formel 1] einwirken lässt. Die in Rede stehende Aufgabe ist
hierdurch auf folgende zurückgeführt: Eine Belastung
[Formel 2] nimmt nach einander die sämmtlichen durch die
Knotenpunkte der unteren Gurtung bestimmten Lagen
an; es ist für jede Lage dieser Last die Grösse u · Δ l
des Moments der links vom Schnitt F F liegenden
Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt J zu bestimmen.
Diese Aufgabe wird nach dem Obigen auf graphischem
Wege gelöst, indem man zwischen den Knotenpunkten
G und D, welche den geschnittenen Theil G D der
unteren Gurtung begrenzen, Vertikalkräfte K1, K2 …
anbringt, deren Mittelkraft von der Grösse [Formel 3] durch
den Punkt J geht, und wenn man alsdann die von
jenen Belastungen erzeugten Biegungsmomente vermit-
telst eines Seilpolygons konstruirt. Dieses Seilpolygon
ist das verlangte Biegungspolygon und zwar steht der
Massstab der Abscissen zum Massstab der Durchbie-
gungen in demselben Verhältnisse, wie der Horizontal-
zug oder die Poldistanz des Seilpolygons zu Eins. Ist
also z. B. der Massstab der Abscissen 1 : 1000, so hat
man die Poldistanz gleich 0,001 aufzutragen, um die
Durchbiegungen in natürlicher Grösse zu konstruiren.

In Bezug auf die Richtungen der Belastungen K
ist zunächst daran zu erinnern, dass in der Gleichung
[Formel 4] die Grössen positive Werthe haben, wenn Δ y eine
Hebung des betreffenden Knotenpunktes, u eine Zug-
spannung und Δ l eine Verlängerung des betrach-
teten Konstruktionstheils C D bezeichnet; sie sind da-
gegen negativ, wenn Δ y eine Senkung, u eine
Druckspannung und Δ l eine Verkürzung darstellt.
Die Durchbiegung eines Knotenpunktes hat demnach
die Richtung nach unten oder nach oben, je nachdem
Δ l und das auf den Knotenpunkt bezügliche u gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es ist
zweckmässig, bei der Konstruktion des Biegungspolygons
die Lage des Pols im Kräftepolygon so zu wählen,
dass die Durchbiegungen in Bezug auf die Schlusslinie
dieselbe Richtung — nach oben oder unten — erhalten
wie die erzeugende Belastung K. Unter dieser Voraus-
setzung ergeben sich folgende Regeln:

Gehört der betrachtete Konstruktionstheil C D (Fi-
gur 30) einer der beiden Gurtungen an, so kann die
Belastung

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 30.
[Abbildung] Fig. 31.
[Spaltenumbruch] [Formel 5] unmittelbar in der Vertikalen des Momentenpunktes J
angebracht werden, und zwar ist K nach unten oder
nach oben gerichtet, je nachdem u und Δ l gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben; hierbei
ist zu beachten, dass alle Werthe von u für jeden Theil
der unteren Gurtung positiv und für jeden Theil
der oberen Gurtung negativ sind.

Ist dagegen der betrachtete Konstruktionstheil C D
ein Füllungstheil (Fig. 32), so muss, weil der Mo-

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 32.
[Abbildung] Fig. 33.
mentenpunkt J nicht zwischen G und D liegt, die
Mittelkraft K in zwei Kräfte K1 und K2 zerlegt wer-
den, die man zweckmässig in den Endpunkten G
und D des vom Schnitt F F getroffenen unteren Gur-
tungstheils anbringt. Die Belastungen K1 und K2 zu
beiden Seiten des Schnittes F F haben immer entge-
gengesetzte Richtungen, und zwar ist die Belastung
nach unten gerichtet auf derjenigen Seite des Schnit-
tes, auf welcher Spannungen u von demselben Vor-
zeichen wie Δ l erzeugt werden. Hierbei ist zu beach-
ten, dass der Schnitt F F das Fachwerk in zwei Theile
zerlegt, von welchen der eine den oberen Knotenpunkt
C und der andere den unteren Knotenpunkt D des
betrachteten Füllungstheils C D enthält, und dass alle
Belastungen des erstgenannten Trägertheils negative,
dagegen alle Belastungen des letztgenannten Träger-
theils positive Spannungen u hervorrufen. Es ergibt
sich hiernach folgendes Verfahren: man versehe den
oberen Knotenpunkt des Füllungstheils (Figur 32) mit
dem Zeichen —, den unteren mit dem Zeichen + und
den Füllungstheil selbst mit dem Vorzeichen von Δ l.
Für Figur 32 ist beispielsweise eine Verkürzung des
Füllungstheils C D angenommen und derselbe demge-
mäss mit — bezeichnet. Auf derjenigen Seite des
Schnittes F F, auf welcher das Vorzeichen des Knoten-
punktes mit dem Vorzeichen des Füllungstheils über-
einstimmt, hat die Belastung des Biegungspolygons
— in Figur 33 die Belastung K1 — die Richtung nach
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[0017] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. demnach die Grösse u · Δ l an, wenn man auf den Knotenpunkt E anstatt der Belastung Eins die Last [FORMEL] einwirken lässt. Die in Rede stehende Aufgabe ist hierdurch auf folgende zurückgeführt: Eine Belastung [FORMEL] nimmt nach einander die sämmtlichen durch die Knotenpunkte der unteren Gurtung bestimmten Lagen an; es ist für jede Lage dieser Last die Grösse u · Δ l des Moments der links vom Schnitt F F liegenden Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt J zu bestimmen. Diese Aufgabe wird nach dem Obigen auf graphischem Wege gelöst, indem man zwischen den Knotenpunkten G und D, welche den geschnittenen Theil G D der unteren Gurtung begrenzen, Vertikalkräfte K1, K2 … anbringt, deren Mittelkraft von der Grösse [FORMEL] durch den Punkt J geht, und wenn man alsdann die von jenen Belastungen erzeugten Biegungsmomente vermit- telst eines Seilpolygons konstruirt. Dieses Seilpolygon ist das verlangte Biegungspolygon und zwar steht der Massstab der Abscissen zum Massstab der Durchbie- gungen in demselben Verhältnisse, wie der Horizontal- zug oder die Poldistanz des Seilpolygons zu Eins. Ist also z. B. der Massstab der Abscissen 1 : 1000, so hat man die Poldistanz gleich 0,001 aufzutragen, um die Durchbiegungen in natürlicher Grösse zu konstruiren. In Bezug auf die Richtungen der Belastungen K ist zunächst daran zu erinnern, dass in der Gleichung [FORMEL] die Grössen positive Werthe haben, wenn Δ y eine Hebung des betreffenden Knotenpunktes, u eine Zug- spannung und Δ l eine Verlängerung des betrach- teten Konstruktionstheils C D bezeichnet; sie sind da- gegen negativ, wenn Δ y eine Senkung, u eine Druckspannung und Δ l eine Verkürzung darstellt. Die Durchbiegung eines Knotenpunktes hat demnach die Richtung nach unten oder nach oben, je nachdem Δ l und das auf den Knotenpunkt bezügliche u gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es ist zweckmässig, bei der Konstruktion des Biegungspolygons die Lage des Pols im Kräftepolygon so zu wählen, dass die Durchbiegungen in Bezug auf die Schlusslinie dieselbe Richtung — nach oben oder unten — erhalten wie die erzeugende Belastung K. Unter dieser Voraus- setzung ergeben sich folgende Regeln: Gehört der betrachtete Konstruktionstheil C D (Fi- gur 30) einer der beiden Gurtungen an, so kann die Belastung [Abbildung] [Abbildung Fig. 30. ] [Abbildung Fig. 31. ] [FORMEL] unmittelbar in der Vertikalen des Momentenpunktes J angebracht werden, und zwar ist K nach unten oder nach oben gerichtet, je nachdem u und Δ l gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben; hierbei ist zu beachten, dass alle Werthe von u für jeden Theil der unteren Gurtung positiv und für jeden Theil der oberen Gurtung negativ sind. Ist dagegen der betrachtete Konstruktionstheil C D ein Füllungstheil (Fig. 32), so muss, weil der Mo- [Abbildung] [Abbildung Fig. 32. ] [Abbildung Fig. 33. ] mentenpunkt J nicht zwischen G und D liegt, die Mittelkraft K in zwei Kräfte K1 und K2 zerlegt wer- den, die man zweckmässig in den Endpunkten G und D des vom Schnitt F F getroffenen unteren Gur- tungstheils anbringt. Die Belastungen K1 und K2 zu beiden Seiten des Schnittes F F haben immer entge- gengesetzte Richtungen, und zwar ist die Belastung nach unten gerichtet auf derjenigen Seite des Schnit- tes, auf welcher Spannungen u von demselben Vor- zeichen wie Δ l erzeugt werden. Hierbei ist zu beach- ten, dass der Schnitt F F das Fachwerk in zwei Theile zerlegt, von welchen der eine den oberen Knotenpunkt C und der andere den unteren Knotenpunkt D des betrachteten Füllungstheils C D enthält, und dass alle Belastungen des erstgenannten Trägertheils negative, dagegen alle Belastungen des letztgenannten Träger- theils positive Spannungen u hervorrufen. Es ergibt sich hiernach folgendes Verfahren: man versehe den oberen Knotenpunkt des Füllungstheils (Figur 32) mit dem Zeichen —, den unteren mit dem Zeichen + und den Füllungstheil selbst mit dem Vorzeichen von Δ l. Für Figur 32 ist beispielsweise eine Verkürzung des Füllungstheils C D angenommen und derselbe demge- mäss mit — bezeichnet. Auf derjenigen Seite des Schnittes F F, auf welcher das Vorzeichen des Knoten- punktes mit dem Vorzeichen des Füllungstheils über- einstimmt, hat die Belastung des Biegungspolygons — in Figur 33 die Belastung K1 — die Richtung nach unten und auf der anderen Seite die Richtung nach

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38, S. . In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_fachwerk02_1875/17>, abgerufen am 21.11.2024.