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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.

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nimmt man in der Regel an, daß die einzelnen Oeffnungen
gleichmäßig belastet seien. Bei der Auflösung der Aufgabe
durch Rechnung führt man also allgemeine Werthe für die
Belastungen der einzelnen Oeffnungen und für die Ordinaten
der Stützpunkte ein und bestimmt mit Hülfe von Gleichungen
von der Form der Gl. 26) die unbekannten Biegungsmomente
über den Stützen. Diese Arbeit hat keine Schwierigkeit,
jedoch werden die Zahlenrechnungen ziemlich zeitraubend, so-
bald die Anzahl der Oeffnungen eine größere ist und die in
Rechnung zu stellenden Maaße und Verhältnisse keine abge-
rundeten Zahlenwerthe haben.

In solchen Fällen führt das im Folgenden beschriebene
graphische Verfahren einfacher und rascher zum Ziele.

Es seien z. B. die Gleichungen für einen Träger von
constantem Querschnitt über vier Oeffnungen von 52, 65,
65 und 52 Meter Weite aufzustellen.

Die Fig. 39 Blatt 398, in welcher die Längen in 1/1000
der natürlichen Größe dargestellt sind, ergiebt die Lage der
Fixpunkte N, und da die Stützen zur Mitte der Trägerlänge
symmetrisch stehen, so ist damit auch die Lage der Fixpunkte
O gegeben. In Fig. 40 Blatt 398 ist angenommen, daß nur
die erste Oeffnung und zwar gleichmäßig belastet sei. Die
positive Belastungsfläche der ersten Oeffnung ist also das
Parabelsegment B1 C B2, für dessen Scheitelhöhe das belie-
bige runde Maaß
A C = 20 Millimeter
angenommen wurde. Für die Construction des Linienzuges
B1 F R S B5, welcher die negative Belastungsfläche B1 F B2
der ersten Oeffnung und die Belastungsflächen der drei übrigen
Oeffnungen darstellt, ist nur die Länge B2 F zu bestimmen,
denn im Uebrigen wird derselbe durch die Fixpunkte O2 und
O3 festgelegt. Die Continuität der elastischen Linie erfordert,
daß der Druck auf die zweite Stütze, welcher von den Bela-
stungsflächen der ersten und zweiten Oeffnung, also von
[Formel 1] ausgeübt wird, gleich Null sei. Zugleich muß nach der Be-
deutung der Fixpunkte O (vergl. die Ableitung der Gleichun-
gen 28) der Druck, welcher von den Belastungsflächen
[Formel 2] oder von
[Formel 3] auf die zweite Stütze ausgeübt wird, gleich Null sein. Aus
der Vergleichung dieser Ausdrücke ergiebt sich, daß das Pa-
rabelsegment B1 C B2 und das Dreieck B1 D B2 gleich große
Drücke auf dte zweite Stütze ausüben müssen, oder daß
[Formel 4] folglich
31) [Formel 5]
sein muß. Man braucht sonach nur die Linie B2 C und die
[Spaltenumbruch]
Ordinate des Fixpunktes O1 zu ziehen, um den Punkt E und
damit den Linienzug B1 F R S B5 festzulegen.

Nach der Fig. 40) ist
[Formel 6] folglich
[Formel 7]

Fig. 41 Blatt 398 zeigt die analoge Construction für den
Fall, daß nur die zweite Oeffnung belastet ist. Die Schluß-
folgerung ist hier genau dieselbe, wie im ersten Falle und
es ergiebt sich, daß
32) [Formel 8]
sein muß. Dadurch sind die Punkte K und L und mit
diesen der Linienzug B1 M P Q B5 bestimmt. Nach der
Zeichnung ist
[Formel 9] demnach
[Formel 10]

Für die Belastung der folgenden Oeffnungen braucht die
Zeichnung nicht ausgeführt zu werden, denn wegen der sym-
metrischen Stützenstellung folgt aus den vorstehenden Beziehun-
gen, daß
[Formel 11] und ferner
[Formel 12] sein muß. Bei gleichzeitiger Belastung sämmtlicher vier Oeff-
nungen ist daher
[Formel 13]

Die durch Rechnung bestimmten genaueren Zahlenwerthe
sind folgende:
[Formel 14]

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
nimmt man in der Regel an, daß die einzelnen Oeffnungen
gleichmäßig belaſtet ſeien. Bei der Auflöſung der Aufgabe
durch Rechnung führt man alſo allgemeine Werthe für die
Belaſtungen der einzelnen Oeffnungen und für die Ordinaten
der Stützpunkte ein und beſtimmt mit Hülfe von Gleichungen
von der Form der Gl. 26) die unbekannten Biegungsmomente
über den Stützen. Dieſe Arbeit hat keine Schwierigkeit,
jedoch werden die Zahlenrechnungen ziemlich zeitraubend, ſo-
bald die Anzahl der Oeffnungen eine größere iſt und die in
Rechnung zu ſtellenden Maaße und Verhältniſſe keine abge-
rundeten Zahlenwerthe haben.

In ſolchen Fällen führt das im Folgenden beſchriebene
graphiſche Verfahren einfacher und raſcher zum Ziele.

Es ſeien z. B. die Gleichungen für einen Träger von
conſtantem Querſchnitt über vier Oeffnungen von 52, 65,
65 und 52 Meter Weite aufzuſtellen.

Die Fig. 39 Blatt 398, in welcher die Längen in 1/1000
der natürlichen Größe dargeſtellt ſind, ergiebt die Lage der
Fixpunkte N, und da die Stützen zur Mitte der Trägerlänge
ſymmetriſch ſtehen, ſo iſt damit auch die Lage der Fixpunkte
O gegeben. In Fig. 40 Blatt 398 iſt angenommen, daß nur
die erſte Oeffnung und zwar gleichmäßig belaſtet ſei. Die
poſitive Belaſtungsfläche der erſten Oeffnung iſt alſo das
Parabelſegment B1 C B2, für deſſen Scheitelhöhe das belie-
bige runde Maaß
A C = 20 Millimeter
angenommen wurde. Für die Conſtruction des Linienzuges
B1 F R S B5, welcher die negative Belaſtungsfläche B1 F B2
der erſten Oeffnung und die Belaſtungsflächen der drei übrigen
Oeffnungen darſtellt, iſt nur die Länge B2 F zu beſtimmen,
denn im Uebrigen wird derſelbe durch die Fixpunkte O2 und
O3 feſtgelegt. Die Continuität der elaſtiſchen Linie erfordert,
daß der Druck auf die zweite Stütze, welcher von den Bela-
ſtungsflächen der erſten und zweiten Oeffnung, alſo von
[Formel 1] ausgeübt wird, gleich Null ſei. Zugleich muß nach der Be-
deutung der Fixpunkte O (vergl. die Ableitung der Gleichun-
gen 28) der Druck, welcher von den Belaſtungsflächen
[Formel 2] oder von
[Formel 3] auf die zweite Stütze ausgeübt wird, gleich Null ſein. Aus
der Vergleichung dieſer Ausdrücke ergiebt ſich, daß das Pa-
rabelſegment B1 C B2 und das Dreieck B1 D B2 gleich große
Drücke auf dte zweite Stütze ausüben müſſen, oder daß
[Formel 4] folglich
31) [Formel 5]
ſein muß. Man braucht ſonach nur die Linie B2 C und die
[Spaltenumbruch]
Ordinate des Fixpunktes O1 zu ziehen, um den Punkt E und
damit den Linienzug B1 F R S B5 feſtzulegen.

Nach der Fig. 40) iſt
[Formel 6] folglich
[Formel 7]

Fig. 41 Blatt 398 zeigt die analoge Conſtruction für den
Fall, daß nur die zweite Oeffnung belaſtet iſt. Die Schluß-
folgerung iſt hier genau dieſelbe, wie im erſten Falle und
es ergiebt ſich, daß
32) [Formel 8]
ſein muß. Dadurch ſind die Punkte K und L und mit
dieſen der Linienzug B1 M P Q B5 beſtimmt. Nach der
Zeichnung iſt
[Formel 9] demnach
[Formel 10]

Für die Belaſtung der folgenden Oeffnungen braucht die
Zeichnung nicht ausgeführt zu werden, denn wegen der ſym-
metriſchen Stützenſtellung folgt aus den vorſtehenden Beziehun-
gen, daß
[Formel 11] und ferner
[Formel 12] ſein muß. Bei gleichzeitiger Belaſtung ſämmtlicher vier Oeff-
nungen iſt daher
[Formel 13]

Die durch Rechnung beſtimmten genaueren Zahlenwerthe
ſind folgende:
[Formel 14]

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[[10]/0021] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. nimmt man in der Regel an, daß die einzelnen Oeffnungen gleichmäßig belaſtet ſeien. Bei der Auflöſung der Aufgabe durch Rechnung führt man alſo allgemeine Werthe für die Belaſtungen der einzelnen Oeffnungen und für die Ordinaten der Stützpunkte ein und beſtimmt mit Hülfe von Gleichungen von der Form der Gl. 26) die unbekannten Biegungsmomente über den Stützen. Dieſe Arbeit hat keine Schwierigkeit, jedoch werden die Zahlenrechnungen ziemlich zeitraubend, ſo- bald die Anzahl der Oeffnungen eine größere iſt und die in Rechnung zu ſtellenden Maaße und Verhältniſſe keine abge- rundeten Zahlenwerthe haben. In ſolchen Fällen führt das im Folgenden beſchriebene graphiſche Verfahren einfacher und raſcher zum Ziele. Es ſeien z. B. die Gleichungen für einen Träger von conſtantem Querſchnitt über vier Oeffnungen von 52, 65, 65 und 52 Meter Weite aufzuſtellen. Die Fig. 39 Blatt 398, in welcher die Längen in 1/1000 der natürlichen Größe dargeſtellt ſind, ergiebt die Lage der Fixpunkte N, und da die Stützen zur Mitte der Trägerlänge ſymmetriſch ſtehen, ſo iſt damit auch die Lage der Fixpunkte O gegeben. In Fig. 40 Blatt 398 iſt angenommen, daß nur die erſte Oeffnung und zwar gleichmäßig belaſtet ſei. Die poſitive Belaſtungsfläche der erſten Oeffnung iſt alſo das Parabelſegment B1 C B2, für deſſen Scheitelhöhe das belie- bige runde Maaß A C = 20 Millimeter angenommen wurde. Für die Conſtruction des Linienzuges B1 F R S B5, welcher die negative Belaſtungsfläche B1 F B2 der erſten Oeffnung und die Belaſtungsflächen der drei übrigen Oeffnungen darſtellt, iſt nur die Länge B2 F zu beſtimmen, denn im Uebrigen wird derſelbe durch die Fixpunkte O2 und O3 feſtgelegt. Die Continuität der elaſtiſchen Linie erfordert, daß der Druck auf die zweite Stütze, welcher von den Bela- ſtungsflächen der erſten und zweiten Oeffnung, alſo von [FORMEL] ausgeübt wird, gleich Null ſei. Zugleich muß nach der Be- deutung der Fixpunkte O (vergl. die Ableitung der Gleichun- gen 28) der Druck, welcher von den Belaſtungsflächen [FORMEL] oder von [FORMEL] auf die zweite Stütze ausgeübt wird, gleich Null ſein. Aus der Vergleichung dieſer Ausdrücke ergiebt ſich, daß das Pa- rabelſegment B1 C B2 und das Dreieck B1 D B2 gleich große Drücke auf dte zweite Stütze ausüben müſſen, oder daß [FORMEL] folglich 31) [FORMEL] ſein muß. Man braucht ſonach nur die Linie B2 C und die Ordinate des Fixpunktes O1 zu ziehen, um den Punkt E und damit den Linienzug B1 F R S B5 feſtzulegen. Nach der Fig. 40) iſt [FORMEL] folglich [FORMEL] Fig. 41 Blatt 398 zeigt die analoge Conſtruction für den Fall, daß nur die zweite Oeffnung belaſtet iſt. Die Schluß- folgerung iſt hier genau dieſelbe, wie im erſten Falle und es ergiebt ſich, daß 32) [FORMEL] ſein muß. Dadurch ſind die Punkte K und L und mit dieſen der Linienzug B1 M P Q B5 beſtimmt. Nach der Zeichnung iſt [FORMEL] demnach [FORMEL] Für die Belaſtung der folgenden Oeffnungen braucht die Zeichnung nicht ausgeführt zu werden, denn wegen der ſym- metriſchen Stützenſtellung folgt aus den vorſtehenden Beziehun- gen, daß [FORMEL] und ferner [FORMEL] ſein muß. Bei gleichzeitiger Belaſtung ſämmtlicher vier Oeff- nungen iſt daher [FORMEL] Die durch Rechnung beſtimmten genaueren Zahlenwerthe ſind folgende: [FORMEL] 3*

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Zitationshilfe:	Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [10]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/21>, abgerufen am 23.11.2024.

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