Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann'schen Fläche in der Ebene W entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe von W, die demselben Punkte der Riemann'schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: $W + m_1\omega_1 + m_2\omega_2$, unter $m_1$, $m_2$ beliebige ganze Zahlen, unter $\omega_1$, $\omega_2$ die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte W ein Punct $W_1$ in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von W um Perioden eine solche von $W_1$ entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man
$W_1 = \pm W + C$
setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann $W_1$ auch gleich $\pm i W + C$, oder $\pm\varrho W + C$ gesetzt werden (unter $\varrho$ eine dritte Einheitswurzel verstanden). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.

3) Gleichungen $p>1$ können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden.

Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von Schwarz

Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.

Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche $p > 1$ unter Umständen nicht durch unendlich viele discrete Transformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem p in der That auch unmöglich.