Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

halber ein solches Coordinatensystem $x, y$ auf der Fläche eingeführt (§. 6), dass $u, v$ durch die Gleichungen verknüpft sind:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Sei jetzt $u_1$ ein beliebiges überall endliches Potential. Wir bilden das zugehörige $v_1$ und haben:

$u_1$ und $v_1$ sind jedenfalls linear unabhängig.

Denn wenn zwischen $u_1, v_1$ eine Gleichung

$a_1 u_1 + b_1 v_1 = \textrm{ Const.}$
mit constanten Coëfficienten bestünde, so würde dieselbe die folgenden Relationen begründen:
$a_1 \frac{\partial u_1}{\partial x} + b_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0, \qquad a_1 \frac{\partial u_1}{\partial y} + b_1 \frac{\partial v_1}{\partial y} = 0,$
aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat
$\frac{\partial u_1}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial u_1}{\partial y} = 0$
folgen würde.

Es sei nun ferner $u_2$ von $u_1$ und $v_1$ linear unabhängig. Dann nehmen wir das zugehörige $v_2$ und haben dann den allgemeineren Satz:

Die vier Functionen $u_1, u_2, v_1, v_2$ sind ebenfalls linear unabhängig.

In der That könnte man aus jeder linearen Relation:
$a_1 u_1 + a_2 u_2 + b_1 v_1 + b_2 v_2 = \textrm{ Const.}$
durch Benutzung der zwischen den $u, v$ bestehenden Beziehungen die folgenden Gleichungen ableiten:
$\begin{align*} (a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial x} - (a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial x} + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial x} &= 0, \\ (a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial y} - (a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial y} + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial y} &= 0, \end{align*}$
aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen $u_1, v_1, u_2$ folgen würde. —

So vorwärts schliessend bekommt man endlich $2p$ linear unabhängige Potentiale:
$u_1, v_1; u_2, v_2; \cdots\cdots; u_p, v_p,$
wo jedes v mit dem gleichbezeichneten u zusammengehört. Wir setzen $u_{\alpha} + iv_{\alpha} = w_{\alpha}$ und nennen nunmehr überall