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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also ei-
nen Körper.

Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Flä-
che gleichmässig als Aggregate von Flächenelementen auf-
fassen, und zwar von zweifach unendlich vielen. Denn die
Fläche wird von infinity 2 Elementen bedeckt, die Curve von
ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen infinity 2 hindurch.
Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen
haben noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man
bezeichne als vereinigte Lage zweier consecutiven Flä-
chenelemente x, y, z, p, q und x+dx, y+dy, z+dz, p+dp,
q+dq die Beziehung, welche durch
dz--pdx--qdy=0
dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche über-
einstimmend zweifach unendliche Mannigfaltig-
keiten von Elementen, deren jedes mit den ein-
fach unendlich vielen ihm benachbarten verei-
nigt liegt. Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemein-
sam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die
Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen
will, analytisch repräsentirt werden.

Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei
beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung.
Aber auch umgekehrt können die Berührungstransformationen
definirt werden als diejenigen Substitutionen der
fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren
die Relation dz--pdx--qdy=0 in sich selbst über-
geführt wird. Der Raum ist also bei diesen Untersuch-
ungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen an-
zusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln,
indem man als Gruppe die Gesammtheit aller Transforma-
tionen der Variabeln zu Grunde legt, welche eine bestimmte
Relation zwischen den Differentialen ungeändert lassen.

Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie
diejenigen Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder meh-
rere Gleichungen zwischen den Variabeln dargestellt wer-
den, d. h. die partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage

fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also ei-
nen Körper.

Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Flä-
che gleichmässig als Aggregate von Flächenelementen auf-
fassen, und zwar von zweifach unendlich vielen. Denn die
Fläche wird von ∞ 2 Elementen bedeckt, die Curve von
ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞ 2 hindurch.
Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen
haben noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man
bezeichne als vereinigte Lage zweier consecutiven Flä-
chenelemente x, y, z, p, q und x+dx, y+dy, z+dz, p+dp,
q+dq die Beziehung, welche durch
dz—pdx—qdy=0
dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche über-
einstimmend zweifach unendliche Mannigfaltig-
keiten von Elementen, deren jedes mit den ein-
fach unendlich vielen ihm benachbarten verei-
nigt liegt. Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemein-
sam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die
Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen
will, analytisch repräsentirt werden.

Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei
beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung.
Aber auch umgekehrt können die Berührungstransformationen
definirt werden als diejenigen Substitutionen der
fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren
die Relation dz—pdx—qdy=0 in sich selbst über-
geführt wird. Der Raum ist also bei diesen Untersuch-
ungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen an-
zusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln,
indem man als Gruppe die Gesammtheit aller Transforma-
tionen der Variabeln zu Grunde legt, welche eine bestimmte
Relation zwischen den Differentialen ungeändert lassen.

Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie
diejenigen Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder meh-
rere Gleichungen zwischen den Variabeln dargestellt wer-
den, d. h. die partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage

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[34/0042] fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also ei- nen Körper. Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Flä- che gleichmässig als Aggregate von Flächenelementen auf- fassen, und zwar von zweifach unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞ 2 Elementen bedeckt, die Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞ 2 hindurch. Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als vereinigte Lage zweier consecutiven Flä- chenelemente x, y, z, p, q und x+dx, y+dy, z+dz, p+dp, q+dq die Beziehung, welche durch dz—pdx—qdy=0 dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche über- einstimmend zweifach unendliche Mannigfaltig- keiten von Elementen, deren jedes mit den ein- fach unendlich vielen ihm benachbarten verei- nigt liegt. Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemein- sam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will, analytisch repräsentirt werden. Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch umgekehrt können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die Relation dz—pdx—qdy=0 in sich selbst über- geführt wird. Der Raum ist also bei diesen Untersuch- ungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen an- zusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln, indem man als Gruppe die Gesammtheit aller Transforma- tionen der Variabeln zu Grunde legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den Differentialen ungeändert lassen. Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder meh- rere Gleichungen zwischen den Variabeln dargestellt wer- den, d. h. die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 34. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/42>, abgerufen am 19.04.2024.