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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Variabel-Werthe x, y, z und ihre partiellen Differential-
quotienten [Formel 1] durch neue x', y', z', p', q' aus-
drückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende
Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen
über, was den Namen Berührungstransformation begründet.
Die Berührungstransformationen zerfallen, wenn man vom
Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen: solche,
die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte
zuordnen -- das sind die eben betrachteten Puncttransfor-
mationen --, solche, die sie in Curven, endlich solche, die sie
in Flächen überführen. Diese Eintheilung hat man insofern
nicht als eine wesentliche zu betrachten, als bei Benutzung
anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa der
Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen
eintritt, die aber mit der Theilung, die unter Zugrunde-
legung der Puncte statt fand, nicht coincidirt.

Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransfor-
mationen an, so geht er in die Gesammtheit aller Puncte,
Curven und Flächen über. In ihrer Gesammtheit erst bil-
den also Puncte, Curven und Flächen einen Körper un-
serer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel ab-
nehmen, dass die formale Behandlung eines Problem's im
Sinne aller Berührungstransformationen (also etwa die so-
gleich vorzutragende Theorie der partiellen Differential-
gleichungen) eine unvollkommene werden muss, sowie man
mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu
Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.

Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als
Raumelemente einzuführen, geht aber, will man in Verbin-
dung mit den gewöhnlichen Methoden bleiben, nicht an,
da deren Zahl unendlichfach unendlich ist. Hierin liegt
die Nothwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den
Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flä-
chenelement, d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als
Raumelement einzuführen. Bei jeder Berührungstrans-
formation wird aus jedem Flächenelemente ein neues; die

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Variabel-Werthe x, y, z und ihre partiellen Differential-
quotienten [Formel 1] durch neue x', y', z', p', q' aus-
drückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende
Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen
über, was den Namen Berührungstransformation begründet.
Die Berührungstransformationen zerfallen, wenn man vom
Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen: solche,
die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte
zuordnen — das sind die eben betrachteten Puncttransfor-
mationen —, solche, die sie in Curven, endlich solche, die sie
in Flächen überführen. Diese Eintheilung hat man insofern
nicht als eine wesentliche zu betrachten, als bei Benutzung
anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa der
Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen
eintritt, die aber mit der Theilung, die unter Zugrunde-
legung der Puncte statt fand, nicht coïncidirt.

Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransfor-
mationen an, so geht er in die Gesammtheit aller Puncte,
Curven und Flächen über. In ihrer Gesammtheit erst bil-
den also Puncte, Curven und Flächen einen Körper un-
serer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel ab-
nehmen, dass die formale Behandlung eines Problem’s im
Sinne aller Berührungstransformationen (also etwa die so-
gleich vorzutragende Theorie der partiellen Differential-
gleichungen) eine unvollkommene werden muss, sowie man
mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu
Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.

Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als
Raumelemente einzuführen, geht aber, will man in Verbin-
dung mit den gewöhnlichen Methoden bleiben, nicht an,
da deren Zahl unendlichfach unendlich ist. Hierin liegt
die Nothwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den
Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flä-
chenelement, d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als
Raumelement einzuführen. Bei jeder Berührungstrans-
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[33/0041] Variabel-Werthe x, y, z und ihre partiellen Differential- quotienten [FORMEL] durch neue x', y', z', p', q' aus- drückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den Namen Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen: solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen — das sind die eben betrachteten Puncttransfor- mationen —, solche, die sie in Curven, endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese Eintheilung hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten, als bei Benutzung anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa der Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt, die aber mit der Theilung, die unter Zugrunde- legung der Puncte statt fand, nicht coïncidirt. Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransfor- mationen an, so geht er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer Gesammtheit erst bil- den also Puncte, Curven und Flächen einen Körper un- serer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel ab- nehmen, dass die formale Behandlung eines Problem’s im Sinne aller Berührungstransformationen (also etwa die so- gleich vorzutragende Theorie der partiellen Differential- gleichungen) eine unvollkommene werden muss, sowie man mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden. Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente einzuführen, geht aber, will man in Verbin- dung mit den gewöhnlichen Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich ist. Hierin liegt die Nothwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flä- chenelement, d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als Raumelement einzuführen. Bei jeder Berührungstrans- formation wird aus jedem Flächenelemente ein neues; die 3

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 33. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/41>, abgerufen am 21.11.2024.